Question

M = \(\frac{x^2+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}+\frac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{2x-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\)

A, RG

B, TÌM x để M =0,M=4

C, tìm min M

Answer 1

với đk 0 ≤ x # 1, biểu thức đã cho xác định 

P = (x+2)/(x√x-1) + (√x+1)/(x+√x+1) - (√x+1)/(x-1) 

P = (x+2)/ (√x-1)(x+√x+1) + (√x+1)/ (x+√x+1) - 1/(√x-1) {hđt: x-1 = (√x-1)(√x+1)} 

P = [(x+2) + (√x+1)(√x-1) - (x+√x+1)] / (x√x-1) 

P = (x-√x)/(x√x-1) = (√x-1)√x /(√x-1)(x+√x+1) 

P = √x / (x+√x+1) 
- - - 
ta xem ở trên là biểu thức rút gọn của P, để chứng minh P < 1/3 ta biến đổi tiếp: 

P = 1/ (√x + 1 + 1/√x) 

bđt côsi: √x + 1/√x ≥ 2 ; dấu "=" khi x = 1 nhưng do đk xác định nên ko có dấu "=" 

vậy √x + 1/√x > 2 <=> √x + 1 + 1/√x > 3 <=> P = 1/(√x + 1 + 1/√x) < 1/3 (đpcm)