Question

\(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z>1\\x+y+z\le6\end{matrix}\right.\). Tìm min \(P=\frac{x}{y^2-2y+1}+\frac{y}{z^2-2z+1}+\frac{z}{x^2-2x+1}\)

Answer 1

không thấy nhờ nên không dám giúp sợ bị bảo vô duyên :(

Answer 2

Không phải ngẫu nhiên mà người ta cho x, y, z > 1. Vì để x, y, z có trừ đi 1 thì vẫn > 0 :))

Answer 3

Ta co:

\(P=\Sigma_{cyc}\frac{x}{\left(y-1\right)^2}\)

Ta lai co:

\(\frac{x}{\left(y-1\right)^2}+x\ge\frac{2x}{y-1}\)

\(\Rightarrow P\ge2\Sigma_{cyc}\frac{x}{y-1}-\left(x+y+z\right)\ge2\Sigma_{cyc}\frac{x}{y-1}-6\)

Xet

\(M=\Sigma_{cyc}\frac{x}{y-1}=\Sigma_{cyc}\frac{x^2}{xy-x}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{xy+yz+zx-\left(x+y+z\right)}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}-\left(x+y+z\right)}=\frac{3\left(x+y+z\right)}{x+y+z-3}\)

\(\Rightarrow2M-6\ge\frac{6\left(x+y+z\right)}{x+y+z-3}-6\)

Chung minh

\(\frac{6\left(x+y+z\right)}{x+y+z-3}-6\ge6\)

\(\Leftrightarrow x+y+z\le6\) (đúng)

Dau '=' xay ra khi \(x=y=z=2\)

Answer 4

Ta có P=\(\frac{x}{\left(y-1\right)^2}+\frac{y}{\left(z-1\right)^2}+\frac{z}{\left(x-1\right)^2}\)

Áp dụng BĐT cosy cho 4 số:

\(\frac{x}{\left(y-1\right)^2}+2\left(y-1\right)+2\left(y-1\right)+\frac{4}{x}\ge8\)

\(\frac{y}{\left(z-1\right)^2}+2\left(z-1\right)+2\left(z-1\right)+\frac{4}{y}\ge8\)

\(\frac{z}{\left(x-1\right)^2}+2\left(z-1\right)+2\left(z-1\right)+\frac{4}{z}\ge8\)

Cộng từng vế ta được: \(P+4\left(x+y+z-3\right)+4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge24\)

\(P\ge24-4\left(x+y+z\right)+12-4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(P\ge36-4.6-4\left(\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}\right)=6\)

Vậy min P=6 \(\Leftrightarrow x=y=z=2\)

Answer 5

Ý tưởng khác ạ!

Dự đoán P đạt min tại \(x=y=z=2\Rightarrow P=6\). Nên ta chứng minh \(P\ge6\)

Đặt \(x=a+1;y=b+1;c=z+1\) thì \(a,b,c>0\) (vì \(x,y,z>1\)) và \(a+b+c\le3\)

Quy về chứng minh: \(P=\Sigma_{cyc}\frac{a+1}{b^2}\ge6\)

Ta có: \(P\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}{a^2b^2c^2}}\ge3\sqrt[3]{\frac{8\sqrt{abc}}{\sqrt{a^4b^4c^4}}}\)

\(=3\sqrt[3]{\frac{8}{\sqrt{\left(abc\right)^3}}}\ge3\sqrt[3]{\frac{8}{\sqrt{\left[\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}\right]^3}}}\ge6\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\Leftrightarrow x=y=z=2\)

_{Is that true?}

Answer 6

Ý b) bđt trong đề thi hsg toán 9 huyện Thanh Chương vòng 2 ạ!

Nguyễn Thị Ngọc Thơ, Nguyễn Văn Đạt, No choice teen, Nguyễn Việt Lâm, Vũ Minh Tuấn, @tth_new, @Akai Haruma, @Trần Thanh Phương

mn giúp e vs!