Question

Tìm giá trị của các số nguyên dương x, y và z sao cho \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{2x^2}{1+x^2}=y\\\frac{2y^2}{1+y^2}=z\\\frac{2z^2}{1+z^2}=x\end{matrix}\right.\).

Answer 1

Ta có \(1+x^2\ge2x\Rightarrow y=\frac{2x^2}{1+x^2}\le\frac{2x^2}{2x}=x\Rightarrow y\le x\)

Tương tự: \(\frac{2y^2}{1+y^2}=z\Rightarrow z\le y\); \(\frac{2z^2}{1+z^2}=x\Rightarrow x\le z\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y\le x\\x\le z\\z\le y\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=z\)

Thay vào pt đầu: \(\frac{2x^2}{1+x^2}=x\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\\frac{2x}{1+x^2}=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(l\right)\\x=1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(x=y=z=1\)