Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng

\(\frac{a}{\left(b+c\right)^2}+\frac{b}{\left(c+a\right)^2}+\frac{c}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{9}{4\left(a+b+c\right)}\)

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, dây CD (C thuộc cung AD), gọi M là chân đường vuông góc kẻ từ A đến CD, trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho CM = DN.
a) Chứng minh BN vuông góc với CD.
b) Gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh: S_AIB = S_AMC + S_CID + S_DNB.

\(\frac{9x}{2-x}+\frac{2}{x}=\frac{9x}{2-x}+\frac{2-x+x}{x}=\frac{9x}{2-x}+\frac{2-x}{x}+1\)

ÁP dụng bđt cosy cho 2 số ta dc:\(\frac{9x}{2-x}+\frac{2-x}{x}+1\ge2\sqrt{9}+1=7\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=\frac{1}{2}\)

Vậy min A=7 \(\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)

Ta có P=\(\frac{x}{\left(y-1\right)^2}+\frac{y}{\left(z-1\right)^2}+\frac{z}{\left(x-1\right)^2}\)

Áp dụng BĐT cosy cho 4 số:

\(\frac{x}{\left(y-1\right)^2}+2\left(y-1\right)+2\left(y-1\right)+\frac{4}{x}\ge8\)

\(\frac{y}{\left(z-1\right)^2}+2\left(z-1\right)+2\left(z-1\right)+\frac{4}{y}\ge8\)

\(\frac{z}{\left(x-1\right)^2}+2\left(z-1\right)+2\left(z-1\right)+\frac{4}{z}\ge8\)

Cộng từng vế ta được: \(P+4\left(x+y+z-3\right)+4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge24\)

\(P\ge24-4\left(x+y+z\right)+12-4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(P\ge36-4.6-4\left(\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}\right)=6\)

Vậy min P=6 \(\Leftrightarrow x=y=z=2\)

Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn \(a+\frac{1}{b}\le1\). Tìm GTLN của biểu thức T=\(\frac{ab}{a^2+b^2}\)

Mình cảm ơn các bạn nhé

ở trong quyển nâng cao và phát triển toán 9 tập 2 trang 77,78 nhé