Question

\(\left\{{}\begin{matrix}2x-y=3m-7\\x+y=1\end{matrix}\right.\)

Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) sao cho x,y là các số dương, biểu thức P=x-y-xy-2m đạt Min

Answer 1

Vì \(\dfrac{2}{1}\ne\dfrac{-1}{1}=-1\)

nên hệ luôn có nghiệm duy nhất

\(\left\{{}\begin{matrix}2x-y=3m-7\\x+y=1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3x=3m-7+1=3m-6\\x+y=1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=m-2\\y=1-m+2=-m+3\end{matrix}\right.\)

Để x,y dương thì \(\left\{{}\begin{matrix}m-2>0\\-m+3>0\end{matrix}\right.\)

=>2<m<3

\(P=x-y-xy-2m\)

\(=m-2-\left(-m+3\right)-\left(m-2\right)\left(-m+3\right)-2m\)

\(=m-2+m-3+\left(m-2\right)\left(m-3\right)-2m\)

\(=m^2-5m+6-5=m^2-5m+1\)

\(=m^2-5m+\dfrac{25}{4}-\dfrac{21}{4}=\left(m-\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{21}{4}>=-\dfrac{21}{4}\forall m\)

Dấu '=' xảy ra khi m=5/2(nhận)