a) Chứng minh tứ giác AHEK nội tiếp
Vì AB là đường kính của đường tròn (O) nên ta có:
∠AHB = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Lại có MN vuông góc với AB tại H nên H là trung điểm của dây MN (theo tính chất đường kính vuông góc dây tại trung điểm).
Do đó, tại H có:
MN vuông góc với AB, hay AH vuông góc với MN.
Vì H là giao điểm của MN và AB, nên ta có:
∠AHK = 90°.
Mặt khác, trong tứ giác AHEK, góc H bằng 90°.
Một tứ giác có một góc vuông nội tiếp đường tròn (vì tổng hai góc đối diện bằng 180°) nên tứ giác đó nội tiếp.
Vậy tứ giác AHEK nội tiếp.
b) Chứng minh AE + BE có giá trị không đổi
Kéo dài AE cắt đường tròn (O) tại I.
Áp dụng hệ thức dây cung trong đường tròn, ta có:
AE × EI = BE × EK.
Vì (O) là đường tròn cố định, A, B, I là ba điểm cố định, nên độ dài dây AB không đổi.
Mặt khác, vì các tích AE × EI và BE × EK liên hệ với khoảng cách cố định trên đường tròn, nên tổng AE + BE cũng có giá trị không đổi.
Vậy AE + BE không đổi khi E di chuyển trên dây MN.
c) Chứng minh góc KAE = góc KBC
Ta đã biết tứ giác AHEK nội tiếp.
Trong tứ giác nội tiếp, góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong đối diện.
Do đó:
∠KAE = ∠KHE (vì đối đỉnh nhau).
Mặt khác, vì MN vuông góc AB tại H và H là trung điểm dây MN, nên cấu trúc hình học đối xứng qua AB.
Điều đó dẫn đến việc hai góc KAE và KBC bằng nhau do tính chất đối xứng.
Vậy ta có:
∠KAE = ∠KBC.
giúp e với ạ e cảm ơnn
