Question

Hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Đường chéo AC cắt BM, DN lần lượt ở P, Q.

a, Chứng minh AP=PQ=QC

b, Tứ giác MPNQ là hình gì?

c, S_ABC= 120 cm². Tính S_MPNQ.

d, Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để MPNQ là hình chữ nhật, thoi, vuông?

Answer 1

a: Xét tứ giác BMDN có

DM//BN

DM=BN

Do đó: BMDN là hình bình hành

Xét ΔAQD có 

M là trung điểm của AD

MP//QD
DO đó: P là trung điểm của AQ

=>AP=PQ(1)

Xét ΔCPB có 

N là trung điểm của BC

NQ//BP

Do đó; Q là trung điểm của CP

=>PQ=QC(2)

Từ (1) và (2) suy ra AP=PQ=QC

b: Gọi giao điểm của AC và BD là O

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Xét tứ giác AMCN có 

AM//CN

AM=CN

Do đó; AMCN là hình bình hành

Suy ra: Hai đường chéo AC và MN cắt nhau tại trug điểm của mỗi đường

hay O là trung điểm của MN

Ta có: OP+PA=OA

OQ+QC=OC

mà OA=OC

và PA=QC

nên OP=OQ

=>O là trung điểm của PQ

Xét tứ giác MPNQ có 

O là trung điểm của MN

O là trung điểm của PQ

Do đó: MPNQ là hình bình hành