Help
Ta chứng minh tính chất sau:
Với mọi số nguyên a thì \(\left|a\right|+a\) luôn chẵn
Thật vậy, nếu \(a\ge0\Rightarrow\left|a\right|+a=a+a=2a\) chẵn
Nếu \(a< 0\Rightarrow\left|a\right|+a=-a+a=0\) chẵn
Áp dụng ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}\left|x-y\right|+x-y\text{ chẵn}\\\left|y-z\right|+y-z\text{ chẵn}\\\left|z-x\right|+z-x\text{ chẵn}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left|x-y\right|+x-y+\left|y-z\right|+y-z+\left|z-x\right|+z-x\) chẵn
\(\Rightarrow\left|x-y\right|+\left|y-z\right|+\left|z-x\right|\) chẵn với mọi, x;y;z nguyên
Giả sử tồn tại x;y;z nguyên sao cho:
\(\dfrac{2017}{\left|x-y\right|}=\dfrac{2019}{\left|y-z\right|}=\dfrac{2017}{\left|z-x\right|}=k\) nguyên
Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau:
\(k=\dfrac{2017}{\left|x-y\right|}=\dfrac{2019}{\left|y-z\right|}=\dfrac{2017}{\left|z-x\right|}=\dfrac{6051}{\left|x-y\right|+\left|y-z\right|+\left|z-x\right|}\)
Theo cmt, ta có \(\left|x-y\right|+\left|y-z\right|+\left|z-x\right|\) chẵn trong khi \(6051\) lẻ
\(\Rightarrow6051\) ko chia hết \(\left|x-y\right|+\left|y-z\right|+\left|z-x\right|\) với mọi x;y;z
\(\Rightarrow k=\dfrac{6051}{\left|x-y\right|+\left|y-z\right|+\left|z-x\right|}\) ko phải số nguyên với mọi x;y;z (trái giả thiết)
Vậy giả sử là sai hay ko tồn tại x;y;z nguyên thỏa mãn yêu cầu
\(\dfrac{2017}{\left|x-y\right|}=\dfrac{2019}{\left|y-z\right|}=\dfrac{2015}{\left|z-x\right|}=k\in Z\left(1\right)\)
Áp dụng TCDSTLBN, ta có :
\(TH1:x>y>z\)
\(\left(1\right)\Rightarrow\dfrac{2017}{x-y}=\dfrac{2019}{y-z}=\dfrac{2015}{z-x}=\dfrac{2017+2019+2015}{x-y+y-z+z-x}=\dfrac{6051}{0}\left(vô.lý\right)\)
\(TH2:x< y< z\)
\(\left(1\right)\Rightarrow\dfrac{2017}{y-x}=\dfrac{2019}{z-y}=\dfrac{2015}{x-z}=\dfrac{2017+2019+2015}{y-x+z-y+x-z}=\dfrac{6051}{0}\left(vô.lý\right)\)
Vậy sẽ không tồn tại các số nguyên \(x;y;z\) phân biệt thỏa mãn \(\left(1\right)\left(đpcm\right)\)
