Question

Gọi p là chu vi tam giác ABC .cmr

\(\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\le\sqrt{3p}\)

Answer 1

Bất đẳng thức trên tương đương với 

[(p-a)^1/2  +(p-b) ^1/2  +(p-c)^1/2 ] ^2  \(\le\)  3p \(\Leftrightarrow\) p-a+p-b+p-c +2 [ (p-a)^1/2(p-b)^1/2 + (p-b)^1/2(p-c)^1/2 + (p-c)^1/2(p-a)^1/2]\(\le\)3p

 \(\Leftrightarrow\) (p-a)^1/2(p-b)^1/2 + (p-b)^1/2(p-c)^1/2 + (p-c)^1/2(p-a)^1/2\(\le\)p

Theo bất đảng thức cosi thì   (p-a)^1/2(p-b)^1/2 \(\le\)[(p-a)+(p-b)]/2=c/2; Tương tự (p-b)^1/2(p-c)1/2 \(\le\)a/2; (p-c)^1/2(p-a)1/\(\le\)b/2; 

Cộng tất cả các vế lại ta được điều phải chứng minh