Ta có: \(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\left(1\right)\)
Vì \(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\Leftrightarrow\left(a+c\right)\left(a+b\right)>a\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)>a\left(a+b\right)+ac\Leftrightarrow c\left(a+b\right)>ac\Leftrightarrow a+b>a\) (luôn đúng)
Vậy ta cũng có: \(\frac{b}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c}\left(2\right);\frac{c}{a+b}< \frac{b+c}{a+b+c}\left(3\right)\)
Cộng theo vế của (1);(2) và (3) ta dc DPCM
Lớp 7 (1) cần được c/m
có vẻ ĐK cạnh tam giác không tác dụng gì nhỉ
Bài của@tn là bài nào ý có đúng với bài này đâu.
p/s
Mình góp ý để bạn tựa sửa:
ok:!
thứ 1: cái VT của bạn sau khi cộng lại khác với VT của đề nhé
Thứ 2: (1)(2)(3) của bạn chưa có cơ sở
Giải theo yêu cầu:
a,b,c là ba cạnh của tam giác => ta có:\(\hept{\begin{cases}a>0\\b>0\\c>0\end{cases}}\) Và \(\hept{\begin{cases}a+c>b\\a+b>c\\b+c>a\end{cases}}\)(*) mấu chốt của vấn đề.
Ta chứng minh bất đẳng thức phụ:
\(\frac{x}{y}\le\frac{x+m}{y+m}\left(1\right)\) với mọi 0<x<=y &m>=0 c/m: \(\Leftrightarrow xy+xm\le yx+ym\Leftrightarrow m\left(x-y\right)\le0\)
BDT (1) được /cm (với bài này không cần dấu đẳng thức) (**)
Từ (*)&(**) Áp vào từng số hạng của biểu thức cần chứng minh:
\(\frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{a+c}< \frac{2b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+b}< \frac{2c}{a+b+c}\)
công theo vế :
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\) có dpcm
