Question

Giúp nhanh cho em với mn ơi

Answer 1

Hừm, có lẽ mình giúp không nhanh lắm ;)

Bài 3:

Đặt \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\dfrac{p}{q}\left(x,y,p,q\in Z^+\right)\)

\(\Rightarrow x=\left(\dfrac{p}{q}-\sqrt{y}\right)^2\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{p^2}{q^2}-2\dfrac{p}{q}\sqrt{y}+y\)

\(\Rightarrow2\dfrac{p}{q}\sqrt{y}=\dfrac{p^2}{q^2}+y-x\)

\(\Rightarrow\sqrt{y}=\dfrac{\dfrac{p^2}{q}+q\left(y-x\right)}{2p}\).

Dễ thấy \(\dfrac{\dfrac{p^2}{q}+q\left(y-x\right)}{2p}\in Q\), nên \(\sqrt{y}\in Q\). Mà y là số nguyên nên \(\sqrt{y}\in Z\), hay y là số chính phương. Chứng minh tương tự, x là số chính phương.

Bài 4:

Áp dụng câu trên thì x và x+1 là 2 số chính phương. Đặt \(a^2=x;b^2=x+1\) (\(a,b\in Z^{\ge0}\)).

\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a-b=1\\a+b=1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}a-b=-1\\a+b=-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Rightarrow a=1;b=0\)

Vậy x=1.