Giup minh voi aaa
Cho tam giác ABC. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, AC. Trên tia đối của tia FB lấy điểm P sao cho PF = BF. Trên tia đối của tia EC lấy điểm Q sao cho QE = CE.
a) Chứng minh: AQE = BCE, APF =CBF , từ đó suy ra AP = AQ.
b) Chứng minh ba điểm P, A, Q thẳng hàng.
c) Chứng minh BQ / /AC và CP / /AB. d) Gọi R là giao điểm của hai đường thẳng PC và QB. Chứng minh rằng ba đường thẳng AR, BP, CQ đồng quy.
a: Xét ΔEAQ và ΔEBC có
EA=EB
\(\widehat{AEQ}=\widehat{BEC}\)(hai góc đối đỉnh)
EQ=EC
Do đó: ΔEAQ=ΔEBC
=>AQ=BC(2)
Xét ΔFAP và ΔFCB có
FA=FC
\(\widehat{AFP}=\widehat{CFB}\)(hai góc đối đỉnh)
FP=FB
Do đó: ΔFAP=ΔFCB
=>AP=CB(1)
Từ (1),(2) suy ra AP=AQ
b:
Ta có: ΔEAQ=ΔEBC
=>\(\widehat{EAQ}=\widehat{EBC}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên AQ//BC
Ta có: ΔFAP=ΔFCB
=>\(\widehat{FAP}=\widehat{FCB}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên AP//CB
Ta có: AP//BC
AQ//BC
mà AP,AQ có điểm chung là A
nên P,A,Q thẳng hàng
c:
Xét ΔEBQ và ΔEAC có
EB=EA
\(\widehat{BEQ}=\widehat{AEC}\)(hai góc đối đỉnh)
EQ=EC
Do đó: ΔEBQ=ΔEAC
=>\(\widehat{EBQ}=\widehat{EAC}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên BQ//AC
Xét ΔFAB và ΔFCP có
FA=FC
\(\widehat{AFB}=\widehat{CFP}\)
FB=FP
Do đó:ΔFAB=ΔFCP
=>\(\widehat{FAB}=\widehat{FCP}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên AB//CP
d: BQ//AC
=>BR//AC
CP//AB
=>CR//AB
Xét tứ giác ABRC có
AB//RC
AC//BR
Do đó: ABRC là hình bình hành
=>AR cắt BC tại trung điểm của mỗi đường; AB=RC; AC=BR
Ta có: AB=RC
AB=CP
Do đó: RC=CP
=>C là trung điểm của RP
Ta có: AC=BR
AC=BQ
Do đó: BR=BQ
=>B là trung điểm của RQ
AP=AQ
mà A nằm giữa P và Q
nên A là trung điểm của PQ
Xét ΔPQR có
RA,PB,QC là các đường trung tuyến
Do đó: RA,PB,QC đồng quy
