Question

Giúp mình làm 3 bài toán nâng cao này với ❤️❤️Mình đang cần gấp!!😭😭😭😭😭😭

TOÁN NÂNG CAO

1. Giải phương trình nghiệm nguyên:

\[ x^2 + xy - 2022x - 2023y - 2024 = 0. \]

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\[ A = 5x^2 + 2y^2 + 4xy - 2x + 4y + 2015. \]

3. Cho \( a, b, c, x, y, z > 0 \). Chứng minh rằng:

\[
\frac{x^2}{a} + \frac{y^2}{b} + \frac{z^2}{c} = \frac{(x+y+z)^2}{a+b+c}
\]

Answer 1

1) \(x^2+xy-2022x-2023y-2024=0\)

\(\Leftrightarrow y\left(x-2023\right)=-x^2+2022x+2024\)

\(\Leftrightarrow y=\dfrac{-x^2+2022x+2024}{x-2023}=\dfrac{\left(-x^2+2023x\right)-x+2023+1}{x-2023}\)

\(\Leftrightarrow y=\dfrac{-x\left(x-2023\right)-\left(x-2023\right)+1}{x-2023}=\dfrac{\left(x-2023\right)\left(-x-1\right)+1}{x-2023}\)

\(\Leftrightarrow y=-x-1+\dfrac{1}{x-2023}\in Z\)

\(\Leftrightarrow x-2023\in U\left(1\right)=\left\{-1;1\right\}\)

\(\Leftrightarrow x\in\left\{2022;2024\right\}\)

\(\Rightarrow\left(x;y\right)\in\left\{\left(2022;-2024\right);\left(2024;-2024\right)\right\}\)

Answer 2

2) \(A=5x^2+2y^2+4xy-2x+4y+2015\)

\(\Rightarrow A=\left(4x^2+4xy+y^2\right)+\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2+4y+4\right)+2010\)

\(\Rightarrow A=\left(2x+y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+2010\ge2010\)

Dấu "=' xảy ra khi và chỉ khi

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+y=0\\x-1=0\\y+2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy \(A\left(min\right)=2010\) tại \(\left(x;y\right)=\left(1;-2\right)\)

Answer 3

3) Sửa lại đề bài \(\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}+\dfrac{z^2}{c}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\)

Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz :

\(\left(\dfrac{x}{\sqrt{a}}.\sqrt{a}+\dfrac{y}{\sqrt{b}}.\sqrt{b}+\dfrac{z}{\sqrt{c}}.\sqrt{c}\right)^2\le\left(\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}+\dfrac{z^2}{c}\right).\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\le\left(\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}+\dfrac{z^2}{c}\right).\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}+\dfrac{z^2}{c}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\)