Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
nguyễn văn nhật nam

Giúp mình là từ câu 18 đến 26 với mình cảm ơn nhiều

Nguyễn Việt Lâm
28 tháng 3 2021 lúc 0:19

18.

Áp dụng BĐT quen thuộc: \(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}\ge\dfrac{2}{1+xy}\) ta có:

\(\dfrac{1}{1+a^3}+\dfrac{1}{1+b^3}\ge\dfrac{2}{1+\sqrt{a^3b^3}}\) ; \(\dfrac{1}{1+c^3}+\dfrac{1}{1+abc}\ge\dfrac{2}{1+\sqrt{abc^4}}\)

Cộng vế:

\(\dfrac{1}{1+a^3}+\dfrac{1}{1+b^3}+\dfrac{1}{1+c^3}+\dfrac{1}{1+abc}\ge2\left(\dfrac{1}{1+\sqrt{a^3b^3}}+\dfrac{1}{1+\sqrt{abc^4}}\right)\ge2\left(\dfrac{2}{1+\sqrt[4]{a^4b^4c^4}}\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{1+a^3}+\dfrac{1}{1+b^3}+\dfrac{1}{1+c^3}+\dfrac{1}{1+abc}\ge\dfrac{4}{1+abc}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{1+a^3}+\dfrac{1}{1+b^3}+\dfrac{1}{1+c^3}\ge\dfrac{3}{1+abc}\) (đpcm)

Nguyễn Việt Lâm
28 tháng 3 2021 lúc 0:19

19.

Biến đổi tương đương:

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)xy+ab\left(x^2+y^2\right)\ge\left(a^2+b^2+2ab\right)xy\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)xy+ab\left(x^2+y^2\right)\ge\left(a^2+b^2\right)xy+2abxy\)

\(\Leftrightarrow ab\left(x^2+y^2\right)-2abxy\ge0\)

\(\Leftrightarrow ab\left(x^2+y^2-2xy\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow ab\left(x-y\right)^2\ge0\)

Nguyễn Việt Lâm
28 tháng 3 2021 lúc 0:19

20.

\(\Leftrightarrow a+b+c\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{abc}\)

\(\Leftrightarrow a+b+c\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{a+b+c}\) (do \(abc=a+b+c\))

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Nguyễn Việt Lâm
28 tháng 3 2021 lúc 0:20

21.

Ta có:

\(a^3+ab^2\ge2a^2b\)

\(a^3+ac^2\ge2a^2c\)

\(b^3+a^2b\ge2ab^2\)

\(b^3+c^2b\ge2b^2c\)

\(c^3+a^2c\ge2ac^2\)

\(c^3+b^2c\ge2bc^2\)

Cộng vế với vế:

\(2\left(a^3+b^3+c^3\right)+a^2\left(b+c\right)+b^2\left(c+a\right)+c^2\left(a+b\right)\ge2a^2\left(b+c\right)+2b^2\left(c+a\right)+2c^2\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge a^2\left(b+c\right)+b^2\left(c+a\right)+c^2\left(a+b\right)\)

Nguyễn Việt Lâm
28 tháng 3 2021 lúc 0:23

22.

\(\Leftrightarrow\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ca\right)^2+2abc\left(a+b+c\right)\ge3abc\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ca\right)^2\ge abc\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow2\left(ab\right)^2+2\left(bc\right)^2+2\left(ca\right)^2-2a^2bc-2ab^2c-2abc^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ab-bc\right)^2+\left(ab-ca\right)^2+\left(bc-ca\right)^2\ge0\)

23.a.

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)\le2\left(a^3+b^3\right)\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+a^2b+ab^2\le2\left(a^3+b^3\right)\)

\(\Leftrightarrow a^3-a^2b+b^3-ab^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)-b^2\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng với a;b;c không âm)

Nguyễn Việt Lâm
28 tháng 3 2021 lúc 0:26

23b.

Áp dụng câu a: \(\dfrac{a+b}{2}.\dfrac{a^2+b^2}{2}\le\dfrac{a^3+b^3}{2}\)

Nên ta chỉ cần chứng minh:

\(\dfrac{a^3+b^3}{2}.\dfrac{a^4+b^4}{2}\le\dfrac{a^7+b^7}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(a^3+b^3\right)\left(a^4+b^4\right)\le2\left(a^7+b^7\right)\)

\(\Leftrightarrow a^7-a^4b^3+b^7-a^3b^4\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^4\left(a^3-b^3\right)-b^4\left(a^3-b^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^4-b^4\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\) (luôn đúng)

Nguyễn Việt Lâm
28 tháng 3 2021 lúc 0:32

23c.

Ta sẽ chứng minh: \(\dfrac{a+b}{2}.\dfrac{a^3+b^3}{2}\le\dfrac{a^4+b^4}{2}\)

\(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-ab^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\) (luôn đúng)

Nên ta chỉ cần chứng minh: \(\dfrac{a^4+b^4}{2}.\dfrac{a^5+b^5}{2}\le\dfrac{a^9+b^9}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(a^4+b^4\right)\left(a^5+b^5\right)\le2\left(a^9+b^9\right)\)

\(\Leftrightarrow a^9-a^5b^4+b^9-a^4b^5\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^4-b^4\right)\left(a^5-b^5\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+b^2\right)\left(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4\right)\ge0\) (luôn đúng)

Nguyễn Việt Lâm
28 tháng 3 2021 lúc 0:40

24.

\(\dfrac{\left(a+b\right)\left(1-ab\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}\ge-\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)+2\left(a+b\right)\left(1-ab\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+a^2b^2+1-2ab\left(a+b\right)+2\left(a+b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab+a^2b^2-2ab+1-2ab\left(a+b\right)+2\left(a+b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2+2\left(a+b\right)+1-2ab\left(a+b+1\right)+a^2b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+1\right)^2-2ab\left(a+b+1\right)+a^2b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+1-ab\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Tương tự: \(\dfrac{\left(a+b\right)\left(1-ab\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}\le\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\left(ab+a+b-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Nguyễn Việt Lâm
28 tháng 3 2021 lúc 0:42

25.

Ta có:

\(a^3b+abc^2\ge2a^2bc\)

\(b^3c+a^2bc\ge2ab^2c\)

\(c^3a+ab^2c\ge2abc^2\)

Cộng vế với vế:

\(a^3b+b^3c+c^3a+abc\left(a+b+c\right)\ge2abc\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow a^3b+b^3c+c^3a\ge abc\left(a+b+c\right)\)

Nguyễn Việt Lâm
28 tháng 3 2021 lúc 0:46

26.

Ta chứng minh BĐT phụ sau:

Với mọi x;y dương ta luôn có: \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)

Thật vậy, BĐT tương đương:

\(x^3-x^2y+y^3-xy^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-y^2\right)\left(x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) (luôn đúng)

Áp dụng:

\(VT=\dfrac{a^3+b^3}{2ab}+\dfrac{b^3+c^3}{2bc}+\dfrac{c^3+a^3}{2ca}\ge\dfrac{ab\left(a+b\right)}{2ab}+\dfrac{bc\left(b+c\right)}{2bc}+\dfrac{ca\left(c+a\right)}{2ca}\)

\(VT\ge\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{b+c}{2}+\dfrac{c+a}{2}=a+b+c\) (đpcm)


Các câu hỏi tương tự
nguyễn văn nhật nam
Xem chi tiết
Ngô Phương Linh
Xem chi tiết
Phúc Phan
Xem chi tiết
Nhiên Kha
Xem chi tiết
Nam Trân
Xem chi tiết
Bích Trang Nguyễn
Xem chi tiết
nguyen thuy duong
Xem chi tiết
nguyễn văn nhật nam
Xem chi tiết
Quang Nghia Nguyen Dang
Xem chi tiết