4: Đặt \(x=\dfrac{a+b}{a-b};y=\dfrac{b+c}{b-c};z=\dfrac{c+a}{c-a}\).
Ta có \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)=\dfrac{2a.2b.2c}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx=-1\).
Bất đẳng thức đã cho tương đương:
\(x^2+y^2+z^2\ge2\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)-2\ge0\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge0\) (luôn đúng).
Vậy ta có đpcm
mình xí câu 45,47,51 :>
45. a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{2b}\ge\dfrac{\left(1+2\right)^2}{a+2b}=\dfrac{9}{a+2b}\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra <=> a=b
b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+b}=\dfrac{9}{a+2b}\)(1)
\(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{b+c+c}=\dfrac{9}{b+2c}\)(2)
\(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{c+a+a}=\dfrac{9}{c+2a}\)(3)
Cộng (1),(2),(3) theo vế ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c
47. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{c}+\dfrac{\left(b+c\right)^2}{a}+\dfrac{\left(c+a\right)^2}{b}\ge\dfrac{\left(a+b+b+c+c+a\right)^2}{a+b+c}=\dfrac{\left[2\left(a+b+c\right)\right]^2}{a+b+c}=\dfrac{4\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=4\left(a+b+c\right)\)(đpcm)
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c
51. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1+1\right)^2}{a+a+b+c}=\dfrac{16}{2a+b+c}\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1+1\right)^2}{a+b+b+c}=\dfrac{16}{a+2b+c}\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1+1\right)^2}{a+b+c+c}=\dfrac{16}{a+b+2c}\)
Cộng vế với vế các bđt trên ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c
b) Ta có \(4b-a-\dfrac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}=\dfrac{\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)}{ab+5b^2}\ge0\) nên \(\dfrac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}\le4b-a\).
Tương tự \(\dfrac{19c^3-b^3}{bc+5c^2}\le4c-b;\dfrac{19a^3-c^3}{ca+5a^2}\le4a-c\).
Cộng vế với vế ta có đpcm.
