B16:
Biểu thức C là tích của 100 phân số nhỏ hơn 1 , trong đó các tử đều lẽ , các mẫu đều chẵn . Ta đưa ra biểu thức trung gian là một tích các phân số mà tử số các phân số đều chẵn và mẫu số các phân số đều lẽ . Thêm 1 vào tử và mẫu của mỗi phân số của A , giá trị mỗi phân số tăng lên , do đó:
ta có:
\(A< \dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{4}.\dfrac{5}{6}.....\dfrac{199}{200}\left(1\right)\)
\(A< \dfrac{2}{3}.\dfrac{4}{5}.\dfrac{6}{7}....\dfrac{200}{201}\left(2\right)\)
Nhân (1) vs (2) theo từng vế ta được:
\(A^2< \left(\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{4}.\dfrac{5}{6}.....\dfrac{199}{200}\right).\left(\dfrac{2}{3}.\dfrac{4}{5}.\dfrac{6}{7}....\dfrac{200}{201}\right)\)
Vế phải của bđt trên bằng \(\dfrac{1}{201}\)
Vậy \(A^2< \dfrac{1}{201}\left(đpcm\right)\)
15.
\(A=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{4^7}\)
\(4A=1+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{4^6}\)
\(\Rightarrow4A-A=1-\dfrac{1}{4^7}\)
\(\Rightarrow3A=1-\dfrac{1}{4^7}\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{1}{3}\left(1-\dfrac{1}{4^7}\right)\)
\(B=\dfrac{8}{9}.\dfrac{15}{16}...\dfrac{2499}{2500}=\dfrac{2.4}{3^2}.\dfrac{3.5}{4^2}...\dfrac{49.51}{50^2}\)
\(B=\dfrac{2.3...49}{3.4...50}.\dfrac{4.5...51}{3.4...50}=\dfrac{2}{50}.\dfrac{51}{3}=\dfrac{17}{25}\)