a) Xét đường tròn (O; R) có I là trung điểm của dây ED => OI ⊥ ED
Xét tứ giác ABIO có: \(\widehat{AIO}=\widehat{ABO}=90^o\) => Tứ giác ABIO nội tiếp
b) Xét đường tròn (O;R) có tiếp tuyến KC, cát tuyến KEB =>KC2 = KE.KB
Do BD // AC (gt) => \(\widehat{BDE}=\widehat{KAE}\) (2 góc so le trong)
Mà \(\widehat{BDE}=\widehat{ABE}\) (cùng chắn \(\stackrel\frown{BE}\)) => \(\widehat{ABE}=\widehat{KAE}\)
Xét ΔAKE và ΔBKA có: \(\widehat{AKB}\) chung; \(\widehat{ABE}=\widehat{KAE}\) (cmt)
=> ΔAKE ~ ΔBKA (g.g) => \(\dfrac{AK}{KB}=\dfrac{KE}{AK}\) => AK2 = KE.KB
=> AK2 = KC2 (= KE.KB) => AK = KC => K là trung điểm AC
c) Xét đường tròn (O; R) có 2 tiếp tuyến AB, AC
=> OA là trung trực của BC
Gọi OA \(\cap\) BC \(\equiv\) {H} => H là trung điểm của BC và BH ⊥ OA
Xét ΔOAB vuông tại B, đường cao BH
=> OB2 = OH.OA (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
=> R2 = OH.3R => OH = \(\dfrac{R}{3}\)
=> AH = OA - OH = 3R - \(\dfrac{R}{3}\) = \(\dfrac{8R}{3}\)
Xét ΔABC có G là giao điểm 2 đường trung tuyến AH, BK
=> G là trọng tâm ΔABC => AG = \(\dfrac{2}{3}\).AH = \(\dfrac{2}{3}\).\(\dfrac{8R}{3}\) = \(\dfrac{16R}{9}\)
