a: ΔABC vuông tại A
=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)
=>\(BC^2=9^2+12^2=81+144=225=15^2\)
=>BC=15(cm)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)
=>\(AH\cdot15=9\cdot12=108\)
=>\(AH=\frac{108}{15}=7,2\left(\operatorname{cm}\right)\)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(BA^2=BH\cdot BC\)
=>\(BH=\frac{9^2}{15}=5,4\left(\operatorname{cm}\right)\)
b: Xét ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao
nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔAHC vuông tại H có HI là đường cao
nên \(AI\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AE\cdot AB=AI\cdot AC\)
c: Xét ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao
nên \(BE\cdot BA=BH^2\)
=>\(BE=\frac{BH^2}{BA}=\left(\frac{BA^2}{BC}\right)^2:BA=\frac{BA^4}{BA\cdot BC^2}=\frac{BA^3}{BC^2}\)
=>\(BE^2\cdot BC=\frac{BA^6}{BC^4}\cdot BC=\frac{BA^6}{BC^3}=\left(\frac{BA^2}{BC}\right)^3=BH^3\)
d:
Gọi M là trung điểm của BC
ΔABC vuông tại A
mà AM là đường trung tuyến
nên \(AM=\frac{BC}{2}\)
\(\sqrt{BH\cdot HC}=\sqrt{AH^2}=AH\le AM=\frac{BC}{2}\)
