ĐKXĐ : \(x\ge-1\)
\(\sqrt{x^2+2x+3}\) \(+\sqrt{x^2+x+2}=2x+2\)
<=> \(\frac{x^2+2x+3-x^2-x-2}{\sqrt{x^2+2x+3}+\sqrt{x^2+x+2}}-2x-2=0\)
<=> \(\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+3}+\sqrt{x^2+x+2}}-2\left(x+1\right)=0\)
<=> \(\left(x+1\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+2x+3}+\sqrt{x^2+x+2}}-2\right)=0\)
<=> \(x=-1\left(tm\right)\)vì \(\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+2x+3}+\sqrt{x^2+x+2}}-2\right)\ne0\)
vậy \(x=-1\)
CHÚC BN HỌC TỐT
Em không chắc đâu ạ,rất mong được góp ý ạ!
ĐK: \(x\ge-1\) . Đặt \(\sqrt{x^2+2x+3}=a;\sqrt{x^2+x+2}=b\Rightarrow a^2-b^2=x+1\)
Theo đề bài ta có: \(PT\Leftrightarrow\sqrt{x^2+2x+3}+\sqrt{x^2+x+2}=2\left(x+1\right)\)
\(\Leftrightarrow a+b=2\left(a^2-b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a+b\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(2a-2b-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=-b\\a=\frac{2b+1}{2}\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x^2+2x+3}=\sqrt{x^2+x+2}\left(1\right)\\\sqrt{x^2+2x+3}=\frac{2\sqrt{x^2+x+2}+1}{2}\left(2\right)\end{cases}}}\)
*Giải (1):
Bình phương hai vế suy ra (do hai vế đều không âm):
\(\left(1\right)\Leftrightarrow x^2+2x+3=x^2+x+2\)
\(\Leftrightarrow x+1=0\Leftrightarrow x=-1\) (TMĐKXĐ)
*Giải (2)
Ta có: \(\left(2\right)\Leftrightarrow2\sqrt{x^2+2x+3}=2\sqrt{x^2+x+2}+1\)
Tương tự như trên,bình phương hai vế và rút gọn suy ra \(4x^2+8x+12=4x^2+4x+9+4\sqrt{x^2+x+2}\)
\(\Leftrightarrow4x+3=4\sqrt{x^2+x+2}\). Thêm đk \(x\ge-\frac{3}{4}\).Bình phương hai vế suy ra:
\(16x^2+24x+9=16x^2+16x+32\)
\(\Leftrightarrow8x-23=0\Leftrightarrow x=\frac{23}{8}\) (TMĐKXĐ)
Vậy \(x=\left\{-1;\frac{23}{8}\right\}\)
Thôi chết,em nhìn nhầm dấu chỗ (1),để tí em sửa lại.
Em nhầm tí chỗ (1),em làm lại ạ:
\(a=-b\Leftrightarrow\sqrt{x^2+2x+3}=-\sqrt{x^2+x+2}\) (1) (chứ không phải như cái kia là \(a=-b\Leftrightarrow\sqrt{x^2+2x+3}=\sqrt{x^2+x+2}\)đâu ạ)
Dễ thấy \(VT\ge0;VP\le0\). Nên đẳng thức xảy ra khi VT = VP = 0
Ta dễ thấy: \(x^2+2x+3=\left(x+1\right)^2+2\ge2>0\forall x\)
\(\Rightarrow VT=\sqrt{x^2+2x+3}\ge\sqrt{2}>0\forall x\)
Do vậy đẳng thức không xảy ra nên (1) vô nghiệm.
Mong là lần này không còn sai.
Và do đó chỗ kết luận sửa lại là:
Vậy một nghiệm \(x=\frac{23}{8}\) (dùng acc chính xấu thống kê hỏi đáp quá nên đành dùng níc này ạ!)
