ĐK: 2x + 3 \(\ge\) 0; x+ 1 \(\ge\) 0 => x \(\ge\) -1
Đặt \(t=\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}\left(t\ge0\right)\)
=> \(t^2=3x+4+2.\sqrt{\left(2x+3\right)\left(x+1\right)}=3x+4+2\sqrt{2x^2+5x+3}\)
PT đã cho trở thành: t = t 2 - 20 <=> t2 - t - 20 = 0 <=> t = 5 ; t = -4
t = 5 thỏa mãn => \(\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=5\) (*)
Nhận xét : x = 3 là nghiệm của phương trình
+) x < 3 => \(\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}\sqrt{9}+\sqrt{4}=5\)=> x> 3 không là nghiệm của (*)
vậy PT có 1 nghiệm duy nhất x = 3
\(ĐKXĐ:x\ge-1\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{2x+3}=a\\\sqrt{x+1}=b\end{cases}\left(a,b\ge0\right)\Rightarrow}a^2+b^2-4=3x\)
Phương trình đã cho trở thành :
\(a+b=a^2+b^2-4+2ab-16\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)-20=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-5\right)\left(a+b+4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a+b=5\\a+b=-4\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow a+b=5\)
\(\Rightarrow\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=5\)
\(\Leftrightarrow3x+4+2\sqrt{\left(2x+3\right)\left(x+1\right)}=25\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{\left(2x+3\right)\left(x+1\right)}=21-3x\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}21-3x\ge0\\4.\left(2x+3\right)\left(x+1\right)=\left(21-3x\right)^2\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le7\\4.\left(2x^2+5x+3\right)=441-126x+9x^2\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le7\\x^2-146x+429=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le7\\\left(x-3\right)\left(x-143\right)=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x\le7\\\orbr{\begin{cases}x=3\\x=143\end{cases}}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le7\\\left(x-3\right)\left(x-143\right)=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le7\\\orbr{\begin{cases}x=3\\x=143\end{cases}}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow x=3\) ( Thỏa mãn ĐKXĐ )
Vậy pt có nghiệm duy nhất \(x=3\)
