\(2x^2+13x=36+7\sqrt{x^3-24x+32}\Leftrightarrow2x^2+13x-36=7\sqrt{x^3-24x+32}\Leftrightarrow\left(2x^2+13x-36\right)^2=\left(7\sqrt{x^3-24x+32}\right)^2\Leftrightarrow4x^4+169x^2+1296+2\left(26x^3-72x^2-468x\right)=49\left(x^3-24x+32\right)\Leftrightarrow4x^4+3x^3+25x^2+240x-272=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(4x^2-9x+68\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-4\end{matrix}\right.\)
Lời giải:
ĐKXĐ: $x\geq 4$ hoặc $x\leq -2-2\sqrt{3}$
PT $\Leftrightarrow 2x^2+13x-36=7\sqrt{x^3-24x+32}=7\sqrt{(x-4)(x^2+4x-8)}$
Xét 2 TH:
TH1: Nếu $x\geq 4$. Đặt $\sqrt{x-4}=a; \sqrt{x^2+4x-8}=b$ với $a,b\geq 0$
PT trở thành:
$2b^2+5a^2=7ab$
$\Leftrightarrow (b-a)(2b-5a)=0$
$\Leftrightarrow a=b$ hoặc $5a=2b$
Với $a=b\Leftrightarrow a^2=b^2$
$\Leftrightarrow x^2+4x-8=x-4\Leftrightarrow x^2+3x-4=0$
$\Leftrightarrow (x-1)(x+4)=0\Leftrightarrow x=1; x=-4$ (đều không tm)
Với $5a=2b\Leftrightarrow 25a^2=4b^2$
$\Leftrightarrow 25(x-4)=4(x^2+4x-8)$
$\Leftrightarrow 4x^2-9x+68=0$ (vô nghiệm)
TH2: $x\leq -2-2\sqrt{3}$
Đặt $\sqrt{4-x}=a; \sqrt{-(x^2+4x-8)}=b$. Khi đó pt trở thành:
$-(5a^2+2b^2)=7ab$
$\Leftrightarrow 5a^2+2b^2+7ab=0$
$\Leftrightarrow (a+b)(5a+2b)=0$
$\Leftrightarrow a+b=0$ hoặc $5a+2b=0$
Vì $a, b\geq 0$ nên suy ra $a=b=0$
$\Leftrightarrow \sqrt{4-x}=\sqrt{-(x^2+4x-8)}=0$ (vô lý)
Vậy pt vô nghiệm.
