Question

Giải phương trình với nghiệm nguyên dương: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}\)

Answer 1

Ta có : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}\)(x;y \(\ne\)0)

<=> \(\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{4}\)

<=> 4(x + y) = xy

<=> xy - 4x - 4y =0

<=> x(y - 4) - 4y + 16 = 16

<=> x(y - 4) - 4(y - 4) = 16

<=> (x - 4)(y - 4) = 16

Ta có 16 = 1.16 = 4.4 = (-4).(-4) = (-1).(-16)

Lập bảng xét các trường hợp

x - 4	1	16	4	-4	-16	-1
y - 4	16	1	4	-4	-1	-16
x	5 (tm)	20 (tm)	8(tm)	0(loại)	-12(loại)	3
y	20 (tm)	5 (tm)	8 (tm)	0(loại)	3	-12(loại)

Vây các cặp (x;y) thỏa mãn là (5;20) ; (20;5) ; (8;8)