Question

Giải chi tiết nhé

Tìm \(n\in N\) để:

1) \(n^4+n^3+1\) là số chính phương 

2) \(n+1;2n+1;5n+1\) đều là số chính phương 

3) \(n^4+\left(n+1\right)^3-2n^2-2n\) là số chính phương 

Answer 1

Bài 1:

$n=0$ thỏa mãn

$n=1$ không thỏa mãn 

$n=2$ thỏa mãn 

Xét $n>2$:

Đặt $n^4+n^3+1=a^2$ với $a$ tự nhiên 

$4n^4+4n^3+4=(2a)^2$

Ta thấy:
$4n^4+4n^3+4=4n^4+4n^3-3n^2-2n+1+(3n^2+2n+3)$

$> (2n^2+n-1)^2$

$4n^4+4n^3+4=4n^4+4n^3+n^2-(n^2-4)=(2n^2+n)^2-(n^2-4)< (2n^2+n)^2$

Vậy: $(2n^2+n-1)^2< (2a)^2< (2n^2+n)^2$

Theo nguyên lý kẹp thì điều này vô lý.

Vậy $n=0$ hoặc $n=2$

Answer 2

Bài 3:

 

Đặt $n^4+(n+1)^3-2n^2-2n=n^4+n^3+n^2+n+1=a^2$ với $a$ tự nhiên

Với $n=0$ thì thỏa mãn

Với $n=1$ thì không thỏa mãn 

Với $n=2$ thì không thỏa mãn 

Với $n=3$ thì thỏa mãn 

Với $n>3$:

$4n^4+4n^3+4n^2+4n+4=(2n^2+n)^2+3n^2+4n+1> (2n^2+n)^2$

$4n^4+4n^3+4n^2+4n+4=(2n^2+n+1)^2-(x+1)(x-3)$

$< (2n^2+n+1)^2$

Do đó: $(2n^2+n)^2< (2a)^2< (2n^2+n+1)^2$

Theo nguyên lý kẹp thì không tồn tại $a$

Vậy $n=0;3$