Gọi P là trung điểm BC. Vẽ đường kính qua A cắt đường tròn tại điểm thứ 2 là G.
Ta có \(\angle ACG=90^0\) (nt chắn nửa đường tròn) =>GC⊥AC
=>GC||BH (cùng vuông góc AC)
Tương tự ta có GB||CH (cùng vuông góc AB)
=>BHCG là hình bình hành
=>BC và GH cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
=>P là trung điểm GH
=>OP là đường trung bình tam giác AGH
=>OP||AH và \(OP=\frac12AH\)
Lại có \(\angle BOC=2.\angle BAC=120^0\) (góc ở tâm gấp đôi góc nt cùng chắn 1 cung)
Mà OB=OC nên tam giác OBC cân tại O \(\Rightarrow\angle OBP=\frac{180^0-\angle BOC}{2}=30^0\)
Trong tam giác vuông OBP:
\(\sin\angle OBP=\frac{OP}{OB}=\frac{OP}{R}\)
\(\Rightarrow OP=R.\sin\angle OBP=R.\sin30^0=\frac{R}{2}\)
\(\Rightarrow AH=2OP=R\)
Do hai điểm E và F cùng nhìn AH dưới 1 góc vuông nên AEHF nt đường tròn đường kính AH
=>Bán kính đường tròn ngoại tiếp AEF\(=\frac{AH}{2}=\frac{R}{2}\)
