Question

Giải bất phương trình: 

a) \(\dfrac{x^2}{\left(1+\sqrt{1+x}\right)^2}>x-4\)

b) \(\dfrac{1-\sqrt{1-4x^2}}{x}< 3\)

Answer 1

a. ĐKXĐ: \(x\ge-1\)

Với \(x=0\) là nghiệm của BPT đã cho

Với \(x\ne0\) BPT tương đương:

\(\dfrac{x^2\left(\sqrt{x+1}-1\right)^2}{x^2}>x-4\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+1}-1\right)^2>x-4\)

\(\Leftrightarrow x+2-2\sqrt{x+1}>x-4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+1}< 3\)

\(\Leftrightarrow x< 8\)

Vậy nghiệm của BPT đã cho là \(-1\le x< 8\)

Answer 2

b.

ĐKXĐ: \(\left[{}\begin{matrix}-\dfrac{1}{2}\le x< 0\\0< x\le\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{4x^2}{x\left(1+\sqrt{1-4x^2}\right)}< 3\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4x}{1+\sqrt{1-4x^2}}< 3\)

\(\Leftrightarrow4x< 3+3\sqrt{1-4x^2}\)

\(\Leftrightarrow3\sqrt{1-4x^2}>4x-3\) (luôn đúng với \(x\le\dfrac{1}{2}\) do \(4x-3< 0\))

Vậy nghiệm của BPT đã cho là \(\left[-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right]\backslash\left\{0\right\}\)