a.
Sử dụng nguyên tắc lùi vô hạn và số dư của số chính phương khi chia 3 dễ dàng nhận thấy pt vô nghiệm (x;y đều phải chia hết cho 3 nên \(x_0^2+y^2_0=3^{z_0}\) là 1 bộ nghiệm thì \(x_1^2+y_1^2=3^{z_0-2}=3^{z_1}\) cũng là 1 bộ nghiệm ...)
b.
Hiển nhiên p;q;r;s đều lẻ
Mà giữa p và p+10 chỉ có các số lẻ \(p+2;p+4;p+6;p+8\)
Mặt khác, trong 3 số lẻ liên tiếp luôn có ít nhất 1 số chia hết cho 3.
Nên trong bộ p;q;r;s ko thể có 3 số liên tiếp
Dẫn tới \(\left(p;q;r;s\right)=\left(p;p+2;p+6;p+8\right)\)
\(\Rightarrow p+q+r+s=4p+16=4\left(p+4\right)\)
Nếu p chia 3 dư 1 thì \(p+2\) chia hết cho 3 (loại) nên p chia 3 dư 2
\(\Rightarrow p+q+r+s=4.\left(3k+2+4\right)=12\left(k+2\right)\) chia hết cho 12 (1)
Mặt khác p chia 5 phải dư 1 (nếu chia 5 dư 2 thì p+8 là hợp số, chia 5 dư 3 thì p+2 là hợp số, chia 5 dư 4 thì p+6 là hợp số)
\(\Rightarrow p+q+r+s=4\left(5k+1+4\right)=20\left(k+1\right)\) chia hết cho 5 (2)
(1);(2) suy ra đpcm
