Question

\(\dfrac{x^2+y^2}{2}\ge\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2\)

Answer 1

Ta có:

\(\left(x-y\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\) \(x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\ge2xy\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+x^2+y^2\ge2xy+x^2+y^2\) (cộng hai vế của bất đẳng thức với \(x^2+y^2\))

\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{2\left(x^2+y^2\right)}{4}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\) (nhân cả hai vế của bất đẳng thức với \(\dfrac{1}{4}\))

\(\Rightarrow\dfrac{x^2+y^2}{2}\ge\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2\)