\(\Delta\)ABC vuông A có phân giác BM (M thuộc AC). Trên BC lấy D sao cho BD = BA. Gọi E là giao của DM và BA. Biết BM là trung trực AD. Chứng minh:
a) Kẻ DH vuông MC (H thuộc MC) và AK vuông ME (K thuộc ME); hai tia AK và DH cắt nhau ở N. Chứng minh tam giác MHN = tam giác MKN và ba điểm B, M, N thẳng hàng
b) Kẻ đường vuông góc với AC tại C cắt BM tại F. Chứng minh: AB + AM < CF + CM
TK nha bạn mik khôgn chắc là đúng
c) Ta có:
- BM là phân giác của tam giác vuông ABC, nên BM là trung trực của AD.
- Do \(BD = BA\), ta có tam giác \(ABD\) là tam giác cân tại \(B\), nên \(BD\) là đường trung bình của tam giác \(ABD\), nên \(DM\) cũng là đường trung bình của tam giác \(ABD\), và vì thế \(E\) là trung điểm của \(AB\).
- Do đó, \(ME\) là đường trung trực của \(AB\).
Giả sử \(DH\) cắt \(ME\) tại \(N\), và \(AK\) cắt \(ME\) tại \(N\).
Ta cần chứng minh:
1. \(rMHN = rMKN\).
2. Ba điểm \(B, M, N\) thẳng hàng.
Chứng minh:
1. Ta có \(BM\) là trung trực của \(AD\), vậy \(\angle MBA = \angle MBD = \angle MBE\), nên \(BM\) là đường phân giác của \(\angle MBH\).
Tương tự, ta có \(\angle MAE = \angle MAB = \angle MBD\), nên \(ME\) là đường phân giác của \(\angle MEK\).
Do đó, \(M\) là trung điểm của \(HK\).
Vậy, \(MH = MK\).
Đồng thời, \(MD = MD\).
Vậy, \(rMHN = rMKN\).
2. Ta cần chứng minh \(B, M, N\) thẳng hàng. Điều này sẽ được chứng minh khi chúng ta chứng minh \(\angle MBN = 180^\circ\).
Ta có \(\angle MBN = \angle MBH + \angle HBN = \angle MEK + \angle NKE = \angle MKN\).
Vậy, \(\angle MBN = \angle MKN\), nên \(B, M, N\) thẳng hàng.
Vậy, \(rMHN = rMKN\) và ba điểm \(B, M, N\) thẳng hàng.
d) Ta cần chứng minh \(AB + AM < CF + CM\).
Nhận xét rằng \(AC\) là đường chính của tam giác \(ABC\), nên \(CF\) là đường cao của tam giác \(ABC\).
Chứng minh:
- Ta có \(AB + AM = AB + MB = AB + BD\).
- Ta cũng có \(CF + CM = CF + MC\), vì \(CF\) là đường cao của tam giác \(ABC\).
- Nhưng \(AB + BD = AD\), vì \(B\) là trung điểm của \(AD\).
- Vậy, \(AB + AM = AD\).
- Mặt khác, \(CF + CM = AC\), vì \(CF\) là đường cao của tam giác \(ABC\).
- Nhưng \(AD < AC\), vì \(AD\) là cạnh góc vuông của tam giác vuông \(ABC\).
- Vậy, \(AB + AM < CF + CM\).
Vậy, ta đã chứng minh được điều cần chứng minh.
Hình bạn tự vẽ nha!
a) Xét 2 ΔΔ ABM𝐴𝐵𝑀 và NBM𝑁𝐵𝑀 có:
AB=NB(gt)𝐴𝐵=𝑁𝐵(𝑔𝑡)
ˆABM=ˆNBM𝐴𝐵𝑀^=𝑁𝐵𝑀^ (vì BM𝐵𝑀 là tia phân giác của ˆB𝐵^)
Cạnh BM chung
=> ΔABM=ΔNBM(c−g−c).Δ𝐴𝐵𝑀=Δ𝑁𝐵𝑀(𝑐−𝑔−𝑐).
b) Ta có: ˆABM=ˆNBM𝐴𝐵𝑀^=𝑁𝐵𝑀^ (vì BM𝐵𝑀 là tia phân giác của ˆB𝐵^)
=> ˆABH=ˆNBH.𝐴𝐵𝐻^=𝑁𝐵𝐻^.
Xét 2 ΔΔ ABH𝐴𝐵𝐻 và NBH𝑁𝐵𝐻 có:
AB=NB(gt)𝐴𝐵=𝑁𝐵(𝑔𝑡)
ˆABH=ˆNBH(cmt)𝐴𝐵𝐻^=𝑁𝐵𝐻^(𝑐𝑚𝑡)
Cạnh BH chung
=> ΔABH=ΔNBH(c−g−c)Δ𝐴𝐵𝐻=Δ𝑁𝐵𝐻(𝑐−𝑔−𝑐)
=> HA=HN𝐻𝐴=𝐻𝑁 (2 cạnh tương ứng).
c) Vì HA=HN(cmt)𝐻𝐴=𝐻𝑁(𝑐𝑚𝑡)
=> H là trung điểm của AN.𝐴𝑁.
=> BH𝐵𝐻 là đường trung tuyến của ΔABN.Δ𝐴𝐵𝑁.
Xét ΔABNΔ𝐴𝐵𝑁 có:
AB=NB(gt)𝐴𝐵=𝑁𝐵(𝑔𝑡)
=> ΔABNΔ𝐴𝐵𝑁 cân tại B.
Có BH𝐵𝐻 là đường trung tuyến (cmt).
=> BH𝐵𝐻 đồng thời là đường cao của ΔABN.Δ𝐴𝐵𝑁.
=> BH⊥AN.𝐵𝐻⊥𝐴𝑁.
=> HN⊥BH𝐻𝑁⊥𝐵𝐻
Hay HN⊥BM𝐻𝑁⊥𝐵𝑀 (1).
Lại có: Cy⊥BM(gt)𝐶𝑦⊥𝐵𝑀(𝑔𝑡)
=> CK⊥BM𝐶𝐾⊥𝐵𝑀 (2).
Từ (1) và (2) => CK𝐶𝐾 // HN𝐻𝑁 (từ vuông góc đến song song) (đpcm).
Chúc bạn học tốt!
