a) Xét ΔABH vuông tại H và ΔACH vuông tại H có
AB=AC(ΔABC cân tại A)
AH chung
Do đó: ΔABH=ΔACH(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
b) Ta có: ΔABH=ΔACH(cmt)
⇒BH=CH(hai cạnh tương ứng)
mà BH+CH=BC(H nằm giữa B và C)
nên H là trung điểm của BC
⇔\(BH=CH=\frac{BC}{2}=\frac{12cm}{2}=6cm\)
Áp dụng định lí pytago vào ΔABH vuông tại H, ta được:
\(AB^2=AH^2+BH^2\)
hay \(AH^2=AB^2-BH^2=10^2-6^2=64\)
\(\Leftrightarrow AH=\sqrt{64}=8cm\)
Vậy: AH=8cm
c) Xét ΔBAC có
H là trung điểm của BC(cmt)
HE//AC(gt)
Do đó: E là trung điểm của AB(định lí 1 vể đường trung bình của tam giác)
Xét ΔAHB vuông tại H có EH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB(E là trung điểm của AB)
nên \(EH=\frac{AB}{2}\)(định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
mà \(EA=\frac{AB}{2}\)(E là trung điểm của AB)
nên EH=EA
Xét ΔAEH có EH=EA(cmt)
nên ΔEAH cân tại E(định nghĩa tam giác cân)
d) Ta có: F là trung điểm của AH(gt)
nên \(HF=\frac{AH}{2}=\frac{8}{2}=4cm\)
Ta có: \(HE=\frac{AB}{2}\)(cmt)
nên \(HE=\frac{10}{2}=5cm\)
Áp dụng định lí pytago vào ΔFHB vuông tại H, ta được:
\(FB^2=FH^2+BH^2\)
\(\Leftrightarrow FB^2=4^2+6^2=52\)
hay \(FB=\sqrt{52}=2\sqrt{13}cm\)
\(\Leftrightarrow BF+HE=2\sqrt{13}+5\simeq12,21cm\)
Ta có: \(\frac{3}{4}BC=\frac{3}{4}\cdot12=9cm\)
mà \(12,21>9\)
nên \(BF+HE>\frac{3}{4}BC\)(đpcm)
