ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Môn: TOÁN – Lớp 8
Năm học: 2016-2017
Bài 7: Cho hình vuông ABCD có 13 đường thẳng bất kỳ có cùng tính chất là mỗi đường thẳng chia hình vuông thành hai tứ giác có tỉ số diện tích là \(\dfrac{2}{5}\).
Chứng minh rằng có ít nhất
4 đường thẳng trong 13 đường thẳng đó cùng đi qua một điểm.
Giả sử 1 đường thẳng d bất kì (trong 13 đường thẳng nói trên) cắt BC tại M và AD tại N sao cho \(\dfrac{S_{ABMN}}{S_{DCMN}}=\dfrac{2}{5}\)
Gọi E là trung điểm AB và F là trung điểm CD, d cắt EF tại G
\(\dfrac{S_{ABMN}}{S_{DCMN}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\left(BM+AN\right).AB}{\dfrac{1}{2}\left(CM+DN\right).AB}=\dfrac{BM+AN}{CM+DN}=\dfrac{2}{5}\)
Mặt khác do E, F là trung điểm AB, CD \(\Rightarrow EG\) là đường trung bình hình thang ABMN và FG là đường trung bình hình thang DCMN
\(\Rightarrow BM+AN=2EG\) ; \(CM+DN=2FG\)
\(\Rightarrow\dfrac{2EG}{2FG}=\dfrac{2}{5}\Rightarrow\dfrac{EG}{FG}=\dfrac{2}{5}\)
Hay G là điểm cố định nằm trên đoạn EF (cố định) chia đoạn EF theo tỉ lệ 2:5
Do tính đối xứng của hình vuông \(\Rightarrow\) có 4 điểm có tính chất tương tự G
Hay mọi đường thẳng trong 13 đường thẳng nói trên đều phải đi qua ít nhất 1 trong 4 điểm loại G
Theo định lý Dirichlet, tồn tại ít nhất \(\left[\dfrac{13}{4}\right]+1=4\) đường thẳng cùng đi qua 1 điểm
