Question

đa thức f(x) chia cho ( x+ 1 ) dư 2 , chia cho  ( x - 2 ) dư 5, chia cho ( x+1)(x-2) thì thương là 5x^2 -1 và còn dư . Tính f(4)

Answer 1

Gọi \(g\left(x\right),p\left(x\right)\) lần lượt là thương khi chia \(f\left(x\right)\) cho \(\left(x+1\right);\left(x-2\right)\)

Khi đó:

+, Vì \(f\left(x\right)\) chia \(\left(x+1\right)\) dư 2 \(\Rightarrow f\left(x\right)=\left(x+1\right)\cdot g\left(x\right)+2\)

\(\Rightarrow f\left(-1\right)=2\)

+, Vì \(f\left(x\right)\) chia \(\left(x-2\right)\) dư 5 \(\Rightarrow f\left(x\right)=\left(x-2\right)\cdot p\left(x\right)+5\)

\(\Rightarrow f\left(2\right)=5\)

+, Vì \(f\left(x\right)\) chia \(\left(x+1\right)\left(x-2\right)\) được thương là \(5x^2-1\) và còn dư

mà \(5x^2-1\) có bậc 2 nên: \(f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x-2\right)\cdot\left(5x^2-1\right)+ax+b\)

*) Với \(x=-1\Rightarrow f\left(-1\right)=-a+b\)

\(\Rightarrow-a+b=2\) (vì \(f\left(-1\right)=2\))   (1)

*) Với \(x=2\Rightarrow f\left(2\right)=2a+b\)

\(\Rightarrow2a+b=5\) (vì \(f\left(2\right)=5\))   (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow2a+b-\left(-a+b\right)=5-2\)

\(\Leftrightarrow3a=3\Leftrightarrow a=1\)

Thay \(a=1\) vào (1), ta được: \(-1+b=2\Leftrightarrow b=3\)

Khi đó: \(f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x-2\right)\cdot\left(5x^2-1\right)+x+3\)

\(\Rightarrow f\left(4\right)=\left(4+1\right)\left(4-2\right)\cdot\left(5\cdot4^2-1\right)+4+3\)

\(=5\cdot2\cdot79+7=797\)

Vậy \(f\left(4\right)=797\).

\(\text{#}Toru\)