Ta có : \(p^2-1=\left(p-1\right)\left(p+1\right)\)
Vì p là số nguyên tố, p > 3 nên p không chia hết cho 3
Xét tích ba số nguyên liên tiếp : (p-1).p.(p+1) . Số này chia hết cho 3 vì một trong ba số ắt tìm được một số chia hết cho 3. Mà p không chia hết cho 3
=> (p-1)(p+1) = p2-1 chia hết cho 3 (1)
Ta chứng minh bài toán phụ : Với mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều viết được dưới dạng \(6m+1\) hoặc \(6m-1\)
Thật vậy , mọi số nguyên đều viết được dưới dạng \(6m\pm1,6m\pm2,6m\pm3\)
Mọi số nguyên tố lớn hơn 3 thì không chia hết cho 2 và 3 nên chúng chỉ có dạng \(6m\pm1\)
Xét với số nguyên tố \(p=6m\pm1\Rightarrow p^2-1=36m^2\pm12m=12m\left(3m\pm1\right)⋮8\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra p chia hết cho 3 và 8 , mà (3,8) = 1
=> p chia hết cho 24
+ Do p nguyên tố > 3 => p không chia hết cho 3
=> p2 không chia hết cho 3 => p2 chia 3 dư 1
=> \(p^2-1⋮3\left(1\right)\)
+ Do p nguyên tố > 3 => p lẻ => p2 lẻ
=> p2 chia 8 dư 1
=> \(p^2-1⋮8\left(2\right)\)
Từ (1) và (2), do (3;8)=1 => \(p^2-1⋮24\left(đpcm\right)\)
