Ôn tập toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
phan thị minh anh

CMR với mọi số nguyên dương n thì các  phân số sau tối giảin

a. \(\frac{3n+1}{5n+2}\)

b.\(\frac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}\)

Hoàng Lê Bảo Ngọc
11 tháng 8 2016 lúc 10:14

a) Đặt \(A=\frac{3n+1}{5n+2}\). Gọi ƯCLN(3n+1 , 5n+2) = d \(\left(d\ge1\right)\) 

Khi đó : \(3n+1⋮d\) và \(5n+2⋮d\)

\(\Rightarrow5\left(3n+1\right)⋮d\) và \(3\left(5n+2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow3\left(5n+2\right)-5\left(3n+1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d\le1\) mà \(d\ge1\Rightarrow d=1\)

Suy ra ƯCLN(3n+1 , 5n+2) = 1 , vậy A là phân số tối giản.

b)  Đặt \(B=\frac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}\) . Gọi ƯCLN(n3+2n , n4+3n2+1) = d \(\left(d\ge1\right)\)

Khi đó : \(B=\frac{n\left(n^2+2\right)}{n^2\left(n+2\right)+n^2+1}\)

Ta có : \(n\left(n^2+2\right)⋮d\) và \(n^2\left(n+2\right)+n^2+1⋮d\)

Từ  \(n\left(n^2+2\right)⋮d\) \(\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}n⋮d\\n^2+2⋮d\end{array}\right.\)

TH1. Nếu \(n⋮d\) thì ta viết dưới mẫu thức B dưới dạng : 

\(n\left(n^3+3n\right)+1⋮d\) . mà n(n3+3n)\(⋮\)d => \(1⋮d\) \(\Rightarrow d\le1\)

Mà \(d\ge1\Rightarrow d=1\). Lập luận tương tự câu a) , suy ra đpcm

TH2. Nếu \(n^2+2⋮d\) thì ta viết mẫu thức B dưới dạng : 

\(\left(n^4+2n^2\right)+\left(n^2+2\right)-1=\left(n^2+2\right)\left(n^2+1\right)-1⋮d\)

mà  n2+2 \(⋮\)d nên \(1⋮d\Rightarrow d\le1\) mà \(d\ge1\) => d = 1

Lập luận tương tự...

 

Lightning Farron
11 tháng 8 2016 lúc 9:48

a)Gọi UCLN(3n+1;5n+2) là d

Ta có:

[3(5n+2)]-[5(3n+1)] chia hết d

=>[15n+6]-[15n+5] chia hết d

=>1 chia hết d.Suy ra 3n+1 và 3n+5 là số nguyên tố cùng nhau

=>Phân số tối giản 

b)Gọi d là UCLN(n3+2n;n4+3n2+1)

Ta có:

n3+2n chia hết d =>n(n3+2n) chia hết d

=>n4+2n2 chia hết d (1)

n4+3n2-(n4+2n2)=n2+1 chia hết d

=>(n2+1)2=n4+2n2+1 chia hết d (2)

Từ (1) và (2) => (n4+3n2+1)-(n4-2n2) chia hết d

=>1 chia hết d

=>d=1.Suy ra n3+2n và n4+3n2+1 là 2 số nguyên tố cùng nhau

=>Phân số trên tối giản 

 


Các câu hỏi tương tự
Slendrina
Xem chi tiết
Trần T Huyền Anh
Xem chi tiết
Trương Thị Mỹ Duyên
Xem chi tiết
Hồ Thu Giang
Xem chi tiết
Đặng Khánh Ngọc
Xem chi tiết
Lý Hoàng Kim Thủy
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Hà
Xem chi tiết
meo con
Xem chi tiết
Cao Thị Thùy Dung
Xem chi tiết