Lời giải:
Với $x=0,1$ thì BĐT hiển nhiên đúng. Xét $0< x< 1$
Đặt $a=bt$ với $t\geq 0$
Khi đó BĐT cần chứng minh tương đương với:
$tx+y\geq t^x$
$\Leftrightarrow tx+1-x-t^x\geq 0(*)$
Xét hàm $f(t)=tx+1-x-t^x$ với $t\in [0;+\infty)$
$f'(t)=x-xt^{x-1}=x(1-t^{x-1})=0$ khi $t=1$
Lập BBT ta thấy $f(t)\geq f(1)=0$
Vậy BĐT $(*)$ được chứng minh
Ta có đpcm.
1. Cho số thực x. CMR: \(x^4+5>x^2+4x\)
2. Cho số thực x, y thỏa mãn x>y. CMR: \(x^3-3x+4\ge y^3-3y\)
3. Cho a, b là số thực dương thỏa mãn \(a^2+b^2=2\). CMR: \(\left(a+b\right)^5\ge16ab\sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}\)
Chứng minh rằng nếu x, y là các số thực dương thì : \(\frac{1}{\left(1+x\right)^2}+\frac{1}{\left(1+y\right)^2}\ge\frac{1}{1+xy}\)
CMR, nếu x≥ y≥0 thì x/1+x ≥ y/1+y
Cho a,b,c,x,y,z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
x + y + z = 1. CMR:
\(ax+by+cz+2\sqrt{\left(xy+yz+zx\right)\left(ab+bc+ca\right)}\le a+b+c\)
Giúp em với ....
Cho bốn số thực a,b,x,y bất kì đồng thời thỏa mãn các điều kiện : \(x\ge a\ge0,y\ge b\ge0\) và \(\frac{x-y}{2}=\frac{a-b}{3}\) . . Tìm giá trị nhỏ nhất của P = (x + 2a)(y + 2b) theo a và b
Cho bốn số thực a,b,x,y bất kì đồng thời thỏa mãn các điều kiện : \(x\ge a\ge0,y\ge b\ge0\) và \(\frac{x-y}{2}=\frac{a-b}{3}\) . . Tìm giá trị nhỏ nhất của P = (x + 2a)(y + 2b) theo a và b
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \(x^2+y^2+z^2=3\). CMR : \(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge\frac{9}{x+y+z}\)
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn \(x+y+z=2020xyz\) . Cmr \(\dfrac{x^2+1+\sqrt{2020x^2+1}}{x}+\dfrac{y^2+1+\sqrt{2020y^2+1}}{y}+\dfrac{z^2+1+\sqrt{2020z^2+1}}{z}\le2020.2021xyz\)
Cho x,y,z.0, cmr:
\(\Sigma_{cyc}\frac{x}{y}\ge\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}}\)tth
