Ta có: \(\hept{\begin{cases}x+y+z=5\\xy+yz+zx=7\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}y+z=5-x\\yz=7-x\left(5-x\right)\end{cases}}\)
Lại có: \(\left(y+z\right)^2\ge4yz\)
\(\Rightarrow\left(5-x\right)^2\ge4\left[7-x\left(5-x\right)\right]\)
Lấy vế trái trừ vế phải suy ra \(\left(x-3\right)\left(3x-1\right)\le0\)
Đến đây dễ rồi, tự làm tiếp nha
1. Theo tôi nghĩ, chỉ cần x,y,z là ba số nguyên và chúng không đồng thời bằng nhau là được. Sau đây là lời giải.
Từ giả thiết
x^2 - yz = a
y^2 - zx = b
z^2 - xy = c
ta suy ra
x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = a + b + c # 0 (vì x,y,z không đồng thời bằng nhau);
và
x^3 - xyz = ax
y^3 - xyz = by
z^3 - xyz = cz.
Cộng các đẳng thức theo vế, ta được
x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = ax + by + cz.
Sử dụng hằng đẳng thức x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) và x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = a + b + c thì đẳng thức trên được viết lại
(x + y + z)(a + b + c) = ax + by + cz.
Suy ra ax + by + cz chia hết cho a + b + c.
2.
Từ phương trình
x + y + z = a + b + c (1)
ta có
x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca);
và vì x^2 + y^2 + z^2 = a^2 + b^2 + c^2 (2) nên
xy + yz + zx = ab + bc + ca (3).
Lại vì
x^3 + y^3 + z^3 = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) + 3xyz;
a^3 + b^3 + c^3 = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) + 3abc;
x^3 + y^3 + z^3 = a^3 + b^3 + c^3
cùng các giả thiết (1),(2),(3) ta suy ra
xyz = abc (4).
Từ đó, hệ đã cho tương đương với
x + y + z = a + b + c
xy + yz + zx = ab + bc + ca
xyz = abc.
Áp dụng định lí Vi-ét đảo, ta suy ra x,y,z là ba nghiệm của phương trình
t^3 - (a + b + c)t^2 + (ab + bc + ca)t - abc = 0.
Phương trình này có các nghiệm là t = a, t = b, t = c.
Suy ra, nghiệm (x ; y ; z) của hệ đã cho là (a ; b ; c), (a ; c ; b), (b ; a ; c), (b ; c ; a), (c ; b ; a), (c ; a ; b).
3.
Gọi A là biểu thức đã cho, phân tích biểu thức đã cho thành tích, ta được
A = n(n^4 - 5n^2 + 4)
= n(n^2 - 1)(n^2 - 4)
= n(n - 1)(n + 1)(n - 2)(n + 2)
= (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2).
Vậy là biểu thức đã cho là tích năm số nguyên liên tiếp.
Vì trong 5 số nguyên liên tiếp có đúng 1 số chia hết cho 5 nên A chia hết cho 5.
Vì trong 5 số nguyên liên tiếp có ít nhất 1 số chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3.
Vì trong 5 số nguyên liên tiếp có ít nhất 1 số (thứ nhất) chia hết cho 2 và ít nhất 1 số (thứ hai) chia hết cho 4 nên A chia hết cho 8.
Suy ra A chia hết cho BCNN(5 ; 3 ; 8) và vì BCNN(5 ; 3 ; 8) = 120 nên A chia hết cho 120.
