Giả sử \(x>y>z>t\)
Ta có :
\(\frac{x}{x+y+z}>\frac{x}{x+y+z+t}\)
\(\frac{y}{x+y+t}>\frac{y}{x+y+z+t}\)
\(\frac{z}{y+z+t}>\frac{z}{x+y+z+t}\)
\(\frac{t}{x+z+t}>\frac{t}{x+y+z+t}\)
\(\Rightarrow\)\(M=\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+t}+\frac{z}{y+z+t}+\frac{t}{x+z+t}>\frac{x+y+z+t}{x+y+z+t}=1\)
\(\Rightarrow\)\(M>1\)\(\left(1\right)\)
Lại có : ( phần này áp dụng công thức \(\frac{a}{b}< \frac{a+m}{b+m}\) \(\left(\frac{a}{b}< 1;a,b,c\inℕ^∗\right)\) )
\(\frac{x}{x+y+z}< \frac{x+t}{x+y+z+t}\) ( cộng tử và mẫu cho t )
\(\frac{y}{x+y+t}< \frac{y+z}{z+y+z+t}\) ( cộng tử và mẫu cho z )
\(\frac{z}{y+z+t}< \frac{x+z}{x+y+z+t}\) ( cộng tử và mẫu cho x )
\(\frac{t}{x+z+t}< \frac{y+t}{x+y+z+t}\) ( cộng tử và mẫu cho y )
\(\Rightarrow\)\(M=\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+t}+\frac{z}{y+z+t}+\frac{t}{x+z+t}< \frac{2\left(x+y+z+t\right)}{x+y+z+t}=2\)
\(\Rightarrow\)\(M< 2\)\(\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra : \(1< M< 2\)
Vậy M không là số tự nhiên với mọi \(x,y,z,t\inℕ\)
Chúc bạn học tốt ~
Giả sử x > y > z > t Ta có : x + y + z x > x + y + z + t x x + y + t y > x + y + z + t y y + z + t z > x + y + z + t z x + z + t t > x + y + z + t t ⇒M = x + y + z x + x + y + t y + y + z + t z + x + z + t t > x + y + z + t x + y + z + t = 1 ⇒M > 1 1 Lại có : ( phần này áp dụng công thức b a < b + m a + m b a < 1;a,b,c ∈ ℕ ∗ ) x + y + z x < x + y + z + t x + t ( cộng tử và mẫu cho t ) x + y + t y < z + y + z + t y + z ( cộng tử và mẫu cho z ) y + z + t z < x + y + z + t x + z ( cộng tử và mẫu cho x ) x + z + t t < x + y + z + t y + t ( cộng tử và mẫu cho y ) ⇒M = x + y + z x + x + y + t y + y + z + t z + x + z + t t < x + y + z + t 2 x + y + z + t = 2
