Question

CMR: B = x³ + 6x² - 19x - 24 chia hết cho 6 với mọi x thuộc N

Answer 1

\(\forall x\in N\) ta có

\(B=x^3+6x^2-19x-24=\left(x-3\right)\left(x+1\right)\left(x+8\right)\)

- Nếu x chẵn thì \(\left(x+8\right)⋮2\Rightarrow B⋮2\)

- Nếu x lẻ thì \(\left(x-3\right)⋮2\Rightarrow B⋮2\)

Vậy \(B⋮2\)

Lại có \(x-3\equiv x\left(mod3\right)\) và \(x+8\equiv x+2\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow B=\left(x-3\right)\left(x+1\right)\left(x+8\right)\equiv x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\) (mod3)

Mặt khác x, x+1, x+2 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên ắt tồn tại 1 số chia hết cho 3 \(\Rightarrow\left[x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\right]⋮3\)

Hay \(B⋮3\)

Ta có \(B⋮2\), \(B⋮3\) mà 2 và 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên \(B⋮6\)