Ta có : \(A=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)
\(=\left[n\left(n+3\right)\right]\left[\left(n+1\right)\left(n+2\right)\right]\)
\(=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)\)
Đặt : \(n^2+3n=k\)\(\Rightarrow A=k\left(k+2\right)=k^2+2k\)
Ta có : \(\left(k+1\right)^2=\left(k+1\right)\left(k+1\right)\)
\(=k\left(k+1\right)+1\left(k+1\right)\)
\(=k^2+k+k+1=k^2+2k+1\)
Do : \(n\inℕ^∗\Rightarrow n^2+3n>0\)hay : \(k>0\)
\(\Rightarrow k^2+2k>k^2\)
Ta có : \(k^2< k^2+2k< k^2+2k+1\)
hay : \(k^2< k^2+2k< \left(k+1\right)^2\)
Do : \(k^2\)và \(\left(k+1\right)^2\)là hai số chính phương liên tiếp
\(\Rightarrow k^2+2k\)không phải là số chính phương
\(Giai\)
\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)\)
\(\text{Đặt:n2+3n=t}\)
\(A=t\left(t+2\right)=\left(t+1\right)^2-1\)
Đến đây cậu đã làm được chưa ạ?
Mình nghĩ là lm thế này :
A+1=n.(n+1).(n+2).(n+3)+1=n.(n+3).(n+1).(n+2)+1=(n^2+3n).(n^2+3n+2)+1 (1)
Đặt n^2+3n=t (t thuộc N) thì (1) =t.(t+2)+1=t^2+2t+1=(t+1)^2=(n^2+3n+1)^2
Vì n thuộc N nên => n^2+3n+1 thuộc N
Vậy A+1 là số chính phương.
Do đó A không phải số chính phương
