Question

CMR

\(a^2\left(a+1\right)+2a\left(a+1\right)\) chia hết cho 6 với a là số nguyên

\(a\left(2a-3\right)-2a\left(a+1\right)\) chia hết cho 5 với a là số nguyên

\(x^2+2x+2>0\) với mọi x

\(x^2-x+1>0\) với mọi x

\(-x^2+4x-5< 0\) với mọi x

Answer 1

\(-x^2+4x-5\)

\(=\left(-x+4x-4\right)-1\)

\(=-\left(x-2\right)^2-1\le-1\)

Vì -1<0

Nên \(-x^2+4x-5< 0\) với mọi x

Answer 2

a ,\(a^2\left(a+1\right)+2a\left(a+1\right)⋮6\)

\(\Leftrightarrow a\left(a+1\right)\left(a+2\right)⋮6\)

Vì a(a+1) là 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2

Vì a (a+1)(a+2) là 3 số nguyên liên tiêp nên chia hết cho 3

Mà 2 và 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow a\left(a+1\right)\left(a+2\right)⋮6\) hay \(a^2\left(a+1\right)+2a\left(a+1\right)⋮6\) (đpcm)

b,\(a\left(2a-3\right)-2a\left(a+1\right)⋮5\)

\(\Leftrightarrow2a^2-3a-2a^2-2a⋮5\)

\(\Leftrightarrow-5a⋮5\) (đúng)

Vậy \(a\left(2a-3\right)-2a\left(a+1\right)⋮5\)

c,\(x^2+2x+2>0\forall x\)

Ta có \(x^2+2x+2=\left(x^2+2x+1\right)+1=\left(x+1\right)^2+1\)

Vì \(\left(x+1\right)^2\ge0\forall x\Rightarrow\left(x+1\right)^2+1\ge1>0\forall x\)

Vậy \(x^2+2x+2>0\forall x\)

d,\(x^2-x+1>0\forall x\)

Ta có: \(x^2-x+1=\left(x^2-x+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{3}{4}=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\)

Vì \(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\Rightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}>0\forall x\)

Vậy \(x^2-x+1>0\forall x\)

e,\(-x^2+4x-5< 0\forall x\)

Ta có \(-x^2+4x-5=-\left(x^2-4x+4\right)-1=-\left(x-2\right)^2-1\)

Vì \(-\left(x-2\right)^2\le0\forall x\Rightarrow-\left(x-2\right)^2-1\le-1< 0\forall x\)

Vậy \(-x^2+4x-5< 0\forall x\)

Answer 3

\(a^2\left(a+1\right)+2a\left(a+1\right)\)

\(=a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\)

Vì \(a,a+1,a+2\) là 3 số nguyên liên tiếp

Nên \(a\left(a+1\right)\left(a+2\right)⋮6\)

Vậy \(a^2\left(a+1\right)+2a\left(a+1\right)\) luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên a

Answer 4

\(a\left(2a-3\right)-2a\left(a+1\right)\)

\(=2a^2-3a-2a^2-2a\)

\(=-3a-2a=-a\left(3+2\right)=-5a⋮5\)

Vậy \(a\left(2a-3\right)-2a\left(a+1\right)\) luôn chia hết cho 5 với mọi số nguyên a

Answer 5

\(x^2+2x+2\)

\(=\left(x+1\right)^2+1\ge1\)

Vì 1>0, do đó:

\(\left(x+1\right)^2+1>0\) hay \(x^2+2x+2>0\) với mọi x

Answer 6

\(x^2-x+1\)

\(=x^2-2.\dfrac{1}{2}x+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\)

\(=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\)

Vì \(\dfrac{3}{4}>0\)

Nên \(x^2-x+1>0\) với mọi x

Answer 7

c/ x²+2x+2>0 với mọi x

Ta có: x²+2x+2 = x² + 2x +1+1

=( x² +2x +1) +1

=(x² + 2.x.1 + 1² )+1

=(x+1)² +1

Vì (x+1)² ≥ 0

⇒ (x+1)² +1 > 0

Vậy x² +2x+2 >0 với mọi x