Question

CMR: `(a+1)x^2 -2(a-1)x-a-3=0` luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi \(a\ne-1\)

Answer 1

\(\text{Δ}=\left[-2\left(a-1\right)\right]^2-4\cdot\left(a+1\right)\left(-a-3\right)\)

\(=4\left(a-1\right)^2+4\left(a+1\right)\left(a+3\right)\)

\(=4\left(a^2-2a+1\right)+4\left(a^2+4a+3\right)\)

\(=4a^2-8a+4+4a^2+16a+12\)

\(=8a^2+8a+16\)

\(=8\left(a^2+a+2\right)\)

\(=8\left(a^2+a+\dfrac{1}{4}+\dfrac{7}{4}\right)\)

\(=8\left[\left(a+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}\right]>=8\cdot\dfrac{7}{4}>0\forall a\) khác -1

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt khi \(a\ne-1\)