Ta thấy: (a-b)2>_0
=>a2-2ab+b2>_0
=>a2+b2>_2ab
Tương tự ta có:
b2+c2>_2bc
c2+a2>_2ca
=>a2+b2+b2+c2+c2+a2>_2ab+2bc+2ca
=>2.(a2+b2+c2)>_2.(ab+bc+ca)
=>2.(a2+b2+c2)+a2+b2+c2>_2.(ab+bc+ca)+a2+b2+c2
=>3.(a2+b2+c2)>_ab+bc+ca+ab+bc+ca+a2+b2+c2
=>3.(a2+b2+c2)>_(a2+ab+ac)+(ab+b2+bc)+(ac+bc+c2)
=>3.(a2+b2+c2)>_a.(a+b+c)+b.(a+b+c)+c.(a+b+c)
=>3.(a2+b2+c2)>_(a+b+c).(a+b+c)
=>3.(a2+b2+c2)>_(a+b+c)2
mà a+b+c=1
=>3.(a2+b2+c2)>_12
=>3.(a2+b2+c2)>_1
=>a2+b2+c2>_1/3
=>ĐPCM
Dùng pp đổi biến số
Đặt x = a -1/3 ; y = b -1/3 ; z = c -1/3 => x +y +z = a +b +c -1 = 0 (vì a +b +c =1)
Ta có a2 +b2 +c2 = (x +1/3)2 + (y +1/3)2 + (z +1/3)2 = x2 +y2 +z2 + 2/3(x +y +z) +1/3 = x2 +y2 +z2 +1/3 >=1/3
