Question

Chứng tỏ (2ⁿ+1).(2n+2) chia hết cho 3 với mọi n là số tự nhiên lớn hơn 0

Answer 1

Sửa đề: CM: $(2^n+1)(2^n+2)\vdots 3$ với mọi $n$ là số tự nhiên lớn hơn $0$.

Nếu $n$ chẵn. Đặt $n=2k$ với $k$ tự nhiên.

$2^n+2=2^{2k}+2=4^k+2\equiv 1^k+2\equiv 1+2\equiv 3\equiv 0\pmod 3$

$\Rightarrow 2^n+2\vdots 3$
Nếu $n$ lẻ. Đặt $n=2k+1$ với $k$ tự nhiên.

$2^n+1=2^{2k+1}+1=4^k.2+1\equiv 1^k.2+1\equiv 3\equiv 0\pmod 3$

$\Rightarrow 2^n+1\vdots 3$

Vậy 1 trong 2 thừa số $2^n+1, 2^n+2$ chia hết cho 3 với mọi $n$ tự nhiên

$\Rightarrow (2^n+1)(2^n+2)\vdots 3$