\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}>=\dfrac{a+2\sqrt{ab}+b}{4}\)
=>\(4a+4b-2a-4\sqrt{ab}-2b>=0\)
=>2a-4 căn ab+2b>=0
=>2(a-2 căn ab+b)>=0
=>2(căn a-căn b)^2>=0(luôn đúng)
cho a,b,c>0 chứng minh
\(P=\dfrac{a}{\sqrt{ab+b^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{bc+c^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{ca+a^2}}\ge\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1.Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{b}+2\sqrt{c}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{c}+2\sqrt{a}+3}\ge\dfrac{1}{2}\)
Cho 3 số dương a;b;c thoả mãn : \(\sqrt{a^2+b^2}\text{+}\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\text{=}\sqrt{2011}\)
Chứng minh rằng : \(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2011}{2}}\)
Cho a, b, c > 0. Chứng minh:
\(S=\dfrac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}+\dfrac{b^2}{\sqrt{3b^2+8c^2+14bc}}+\dfrac{c^2}{\sqrt{3c^2+8a^2+14ac}}\ge\dfrac{a+b+c}{5}\)
Cho a, b, c > 1 và \(\sqrt{a-1}\) + \(\sqrt{b-1}\) + \(\sqrt{c-1}\) \(\le\)\(\dfrac{3}{2}\)
Chứng minh rằng:
\(\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}+\dfrac{1}{\sqrt{a-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{c-1}}\ge\dfrac{15}{2}\)
Cho a,b,c là 3 số thực dương tùy ý Chứn minh rằng
\(\dfrac{a}{\sqrt{ab+b^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{bc+b^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{ac+a^2}}\ge\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)
Cho \(a,b,c>0\) và \(a+b+c\le2\)
Chứng minh \(\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\dfrac{1}{a^2}}\ge\sqrt{\dfrac{97}{4}}\)
cho a;b dương thỏa \(a;b>\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\)
chứng minh \(\dfrac{1}{a^2+a-1}+\dfrac{1}{b^2+b-1}\ge\dfrac{2}{5}\)
Chứng minh các đẳng thức sau:
c) \(\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2\sqrt{a}-2\sqrt{b}}-\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\sqrt{a}+2\sqrt{b}}-\dfrac{2b}{b-a}=\dfrac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\) ( với a,b > 0 và a \(\ne\) b )
Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện ab+bc+ac=3abc. Chứng minh rằng:
\(\sqrt{\dfrac{ab}{a+b+1}}+\sqrt{\dfrac{bc}{b+c+1}}+\sqrt{\dfrac{ca}{c+a+1}}\ge\sqrt{3}\)
