Question

Chứng minh S= 2+2¹+2²+...+2^{103 là bội của -5}

 

Answer 1

    (Sửa \(2\) thành \(2^0\))

Để \(S\) là \(B\left(-5\right)\)
    thì \(S\) ⋮ \(-5\)
⇒ Ta phải chứng minh \(S\) ⋮ \(-5\)
    Ta có:
    \(S=2^0+2^1+2^2+...+2^{103}\)
⇔\(S=\left(2^0+2^1+2^2+2^3\right)+\left(2^4+2^5+2^6+2^7\right)+...+\left(2^{100}+2^{101}+2^{102}+2^{103}\right)\)
⇔\(S=2^0\left(1+2+2^2+2^3\right)+2^4\left(1+2+2^2+2^3\right)+...+2^{100}\left(1+2+2^2+2^3\right)\)
⇔\(S=\left(1+2+2^2+2^3\right)\left(2^0+2^4+...+2^{100}\right)\)
⇔\(S=15\left(2^0+2^4+...+2^{100}\right)\)
    Vì \(15\) ⋮ \(-5\)
⇒ \(S\) ⋮ \(-5\)
⇒ \(S\) là bội của \(-5\)
⇒ ĐPCM

\(\#PeaGea\)