Question

Chứng minh rằng với số tự nhiên n > 2 thì  $A=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}$không là số tự nhiên

Answer 1

Ta có: \(\frac{1}{2^2}<\frac{1}{1\cdot2}=1-\frac12\)

\(\frac{1}{3^2}<\frac{1}{2\cdot3}=\frac12-\frac13\)

...

\(\frac{1}{n^2}<\frac{1}{\left(n-1\right)\cdot n}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)

Do đó: \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}<1-\frac12+\frac12-\frac13+\cdots+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)

=>\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}<1-\frac{1}{n}<1\)

=>\(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}<1+1=2\)

=>A<2

Ta có: \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}>0\)

=>\(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}>1\)

=>A>1

Do đó: 1<A<2

=>A không là số tự nhiên