Question

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương ta có :^{\(\left(n!\right)^2\ge n^n\)}

Answer 1

Ta có : \(n!=1.2.3...k...n\)

\(n!=n.\left(n-1\right).\left(n-2\right)...\left(n-k+1\right)...1\)

\(\Rightarrow n!.n!=\left(n!\right)^2=\left(1.n\right).\left[2.\left(n-1\right)\right].\left[3\left(n-2\right)\right]...\left[k\left(n-k+1\right)\right]...\left(n.1\right)\)

Ta sẽ chứng minh biểu thức trong mỗi ngoặc vuông đều không nhỏ hơn n.

Xét \(k\left(n-k+1\right)-n=kn-k^2+k-n=k\left(n-k\right)+\left(k-n\right)=\left(n-k\right)\left(k-1\right)\ge0\)

 vì \(n>k\ge1\)

\(\Rightarrow k\left(n-k+1\right)\ge n\)

Do vậy ta có đpcm