Với \(n=1\Rightarrow\left(n+1\right)\left(n+2\right)...\left(2n\right)=2⋮2^1\) (đúng)
Giả sử điều trên đúng với \(n=k\ge1\), hay \(\left(k+1\right)\left(k+2\right)...\left(2k\right)\) chia hết \(2^k\)
Ta cần chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\)
Hay \(\left(k+2\right)\left(k+3\right)...\left(2k+2\right)\) chia hết \(2^{k+1}\)
Thật vậy, ta có:
\(\left(k+1\right)\left(k+2\right)...\left(2k\right)\) chia hết cho \(2^k\) nên đặt \(\left(k+1\right)\left(k+2\right)...\left(2k\right)=a.2^k\) (với a nguyên dương)
Khi đó:
\(\left(k+2\right)\left(k+3\right)...\left(2k+2\right)=\left(k+1\right)\left(k+2\right)...\left(2k\right).\dfrac{\left(2k+1\right)\left(2k+2\right)}{k+1}=a.2^k.\left(2k+1\right).2\)
\(=a.\left(2k+1\right).2^{k+1}⋮2^{k+1}\) (đpcm)
Lời giải:
CM bằng quy nạp.
Đặt $A_n=(n+1)(n+2)(n+3)....(n+n)$
Với $n=1$ thì $A_n=A_1=2=2^1\vdots 2^1$
Với $n=2$ thì $A_n=A_2=(2+1)(2+2)=12\vdots 2^2$
................
Giả sử $A_n=(n+1)(n+2)...(n+n)\vdots 2^n$ đúng cho đến $n=k$
Ta cần cm điều trên đúng với $n=k+1$
Thật vậy:
$A_k=(k+1)(k+2)..(k+k)\vdots 2^k$
$A_{k+1}=(k+1+1)(k+1+2)...(k+1+k)(k+1+k+1)$
$=(k+2)(k+3)....(k+1+k)(2k+2)$
$=(k+1)(k+2)(k+3).....(2k).(2k+1).2$
$=A_k.(2k+1).2\vdots 2A_k\vdots 2.2^k\vdots 2^{k+1}$
Vậy ta có đpcm
