Question

CHứng minh rằng với mọi số chính phương n thì \(n^2+2027n\) chia hết cho 12

 

Answer 1

Có : P = n² + 2017n = n² - n + 2028n 

Vì 2028n \(⋮12\forall n\)(*) 

=> P \(⋮12\Leftrightarrow n^2-n⋮12\)

Vì n chính phương => Đặt n = m²

Khi đó n² - n = n(n - 1) = m²(m² - 1) = m²(m - 1)(m + 1) 

= m(m - 1)(m + 1)(m - 2 + 2)

= (m - 2)(m - 1)m(m + 1) + 2m(m - 1)(m + 1)

Dễ thấy (m - 2)(m - 1)m(m + 1) \(⋮4\)(tích 4 số tự nhiên liên tiếp) (1) 

(m - 2)(m - 1)m(m + 1) \(⋮3\) (tích 3 số nguyên liên tiếp) (2) 

mà (4 ; 3) = 1 (3)

Từ (1) ; (2) ; (3) => (m - 2)(m - 1)m(m + 1) \(⋮4.3=12\)(4)

Lại có (m - 1)m(m + 1) \(⋮6\) (cùng chia hết cho 2 ; 3) 

=> 2(m - 1)m(m + 1) \(⋮12\) (5) 

Từ (4) ; (5) ; (*) => P \(⋮12\)