Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
nguyễn khánh duy

chứng minh rằng với a, b, c > 0 thì a2/b+c  + b2/c + a +c2/a+b_>a+b+c /2

 

Lê Chí Cường
6 tháng 5 2016 lúc 22:15

Áp dụng bất đẳng thức cô-si, ta có:

\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2.\sqrt{\frac{a^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}}\)

=>\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2.\sqrt{\frac{a^2}{4}}\)

=>\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2.\frac{a}{2}\)

=>\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge a\)

Tương tự, ta có:

\(\frac{b^2}{c+a}+\frac{c+a}{4}\ge b\)

\(\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge c\)

=>\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c+a}{4}+\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge a+b+c\)

=>\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}+\left(\frac{b+c}{4}+\frac{c+a}{4}+\frac{a+b}{4}\right)\ge a+b+c\)

=>\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}+\frac{b+c+c+a+a+b}{4}\ge a+b+c\)

=>\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{2.\left(a+b+c\right)}{2}\)

=>\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{2.\left(a+b+c\right)}{2}-\frac{a+b+c}{2}\)

=>\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{a+b+c}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\frac{a^2}{b+c}=\frac{b+c}{4}=>4.a^2=\left(b+c\right)^2=>2a=b+c=>3a=a+b+c\)

\(\frac{b^2}{c+a}=\frac{c+a}{4}=>4.b^2=\left(c+a\right)^2=>2b=c+a=>3b=a+b+c\)

\(\frac{c^2}{a+b}=\frac{a+b}{4}=>4.c^2=\left(a+b\right)^2=>2c=a+b=>3c=a+b+c\)

=>3a=3b=3c=a+b+c

=>a=b=c

=>ĐPCM

Vô Danh
7 tháng 5 2016 lúc 11:21

Áp dụng BĐT schwarz:

\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c+c+a+a+b}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)


Các câu hỏi tương tự
Hà Nam Khánh
Xem chi tiết
Ngoc An Pham
Xem chi tiết
phan van bao
Xem chi tiết
Bùi Tiến Hùng
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Trương Ngọc Anh Tuấn
Xem chi tiết
Bùi Tiến Hùng
Xem chi tiết
hoangtuvi
Xem chi tiết
Trần Tuấn Hoàng
Xem chi tiết
Anh Bùi Thị
Xem chi tiết