Bạn alibaba nguyễn có ý tưởng đúng rồi nhưng trình bày hơi sai một chút.
Để mình viết lại nè:
Gọi \(m=lcm\left(2;3;4;...;n\right)\) và \(k\) nguyên dương thoả \(2^k\le n< 2^{k+1}\).
Khi đó \(m=2^kR\) với \(R\) là bội chung nhỏ nhất của các số lẻ từ \(3\) tới \(n\).
(Giải thích: Mọi số nguyên dương đều viết được dưới dạng \(a=2^xb\) với \(b\) lẻ. Ta gọi \(2^x\) là "phần chẵn" và \(b\) là "phần lẻ" của \(a\).
Số \(m\) cũng vậy. "Phần lẻ" của \(m\), kí hiệu là \(R\), phải chia hết cho các số lẻ từ \(3\) tới \(n\).
Còn "phần chẵn" của \(m\) chỉ cần là \(2^k\) là đủ vì với mọi \(q\le n\) luôn có "phần chẵn" của \(q\) là ước của \(2^k\))
-----
Nhận xét rằng khi phân tích các mẫu số của tổng cho ở đề ra dạng "phần lẻ" và "phần chẵn" như trên thì phân số có "phần chẵn" đúng bằng \(2^k\) chỉ xuất hiện 1 lần là phân số \(\frac{1}{2^k}\).
(Giải thích: Nếu tồn tại phân số khác \(\frac{1}{2^k}\), gọi là \(\frac{1}{t}=\frac{1}{2^ka}\) với \(a\) lẻ thì \(a\ge3\) nên \(n< 2^k.2< t\) (vô lí vì \(\frac{1}{t}\) nằm trong \(S\))
-----
Vậy khi quy đồng mẫu số của \(S\) lên với mẫu chung là \(m\) thì các phân số khác đều có tử chẵn (do "phần chẵn" của mẫu số ban đầu là \(2^l\) với \(l< k\) nên quy đồng lên thành \(2^k\) thì tử chẵn). Riêng có 1 phân số, đó là \(\frac{1}{2^k}\), quy đồng lên thành \(\frac{R}{2^kR}\) và có tử lẻ.
Và tử của \(S\) sau quy đồng là lẻ còn mẫu chẵn. Do đó \(S\) không nguyên.
http://h.vn/hoi-dap/question/169296.html ko bt link bị lỗi k lỗi thì bn sửa h.vn lại thành h nhé
Gọi m là BSC nhỏ nhất của 2, 3, ..., n
Gọi 2k là giá trị lũy thừa lớn nhất của 2 nhưng bé hơn n
Ta có m = 1.2.3....2k...n
Khi ta qui đồng tổng trên thì rất cả tử đều là số chẵn chỉ duy nhất phân số có chứa 2k có tử là số lẻ. Nên tổng của các tử sau khi quy đồng sẽ là số lẻ.
Mà ta nhận xét thấy mẫu số chung là 1 số chẵn nên.
=> Tử không chia hết cho mẫu hay S không phải là số nguyên
NgunhuMinh có ý tưởng sai một chút nhưng giờ mới trình bây:
Liệu có tồn tại S nguyên khi loại bỏ 1 cái số hạng có tử lẻ khi quy đồng kia đi (2^k)
Nếu có khi đó n = bao nhiêu
Khi nào em học đến logárit (ln) em tự biết
Bài giải của Trần Quốc Đạt trông hào nhoáng quá,có vẻ đúng.Mình góp ý 1 bài toán gần giống cho mọi người tham khảo :
Chứng minh\(A=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\notin Z\left(n>1;n\in N\right)\)
Lời giải : Dễ thấy A > 1.Ngoài ra :
\(A< 1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}=1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)
\(=2-\frac{1}{n}< 2\)
Vậy 1 < A < 2 nên A không phải là số nguyên.
Tử không chia hết cho mẫu hay S không là 1 số nguyên
vì S > \(\frac{1}{n}\) suy ra S ko là nguyên
